[論文レビュー] Koppelman formulas and the $\dbar$-equation on an analytic space

Mats Andersson, Håkan Samuelsson Kalm|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異点をもつスタイン空間の正則点集合上で、滑らかで $ olimits\bar{\partial}$-閉な $(0,q)$-形式の $ olimits\bar{\partial}$-方程式を解くための、特異点近傍での成長が制御された積分作用素を備えた内在的重み付きコッペルマン公式を構築する。この公式により、特異点集合上で高々多項式的成長を示す滑らかな解が常に存在することを証明し、スタイン空間上での $ olimits\bar{\partial}$-問題に対する一般解を得るとともに、新たなハルトックス型定理およびコhomologyの消滅結果を導出する。

ABSTRACT

Let $X$ be an analytic space of pure dimension. We introduce a formalism to generate intrinsic weighted Koppelman formulas on $X$ that provide solutions to the $\dbar$-equation. We prove that if $ϕ$ is a smooth $(0,q+1)$-form on a Stein space $X$ with $\dbarϕ=0$, then there is a smooth $(0,q)$-form $ψ$ on $X_{reg}$ with at most polynomial growth at $X_{sing}$ such that $\dbarψ=ϕ$. The integral formulas also give other new existence results for the $\dbar$-equation and Hartogs theorems, as well as new proofs of various known results.

研究の動機と目的

• スタイン解析的空間の正則点集合上で、滑らかで $ olimits\bar{\partial}$-閉な $(0,q)$-形式の $ olimits\bar{\partial}$-方程式に対する一般解を確立すること。
• 特異点集合近傍での成長が制御された、内在的で重み付きのコッペルマン積分作用素を構成し、解を得ること。
• 特異点の余次元が2以上であるスタイン空間上での正則関数に対して、新たなハルトックス型定理を証明すること。
• 積分公式を用いて、スタイン空間上でのドレーブォー・コhomology群 $H^q(X, \mathcal{O}_X)$ の $q \geq 1$ における消滅を再証明すること。
• 残留電流と積分核を用いて、既知の $ olimits\bar{\partial}$-方程式および弱正則関数に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 内在的積分表現を用いた、解析的空間上での重み付きコッペルマンカーネルの形式的枠組みを導入する。
• 主値積分を用いて、$Z \times Z_{\text{reg}}$ 上の内在的カーネル $K$ と $P$ からなる解作用素 $\mathcal{K}$ と $\mathcal{P}$ を構成する。
• 特異点近傍での収束を保証し、成長を制御するため、重み付き形式 $g^\mu = (\sigma \cdot a + \bar{\partial}\sigma \cdot H^1)^\mu$ を用いる。
• 周囲空間における $ olimits\bar{\partial}$-ポincare補題を用い、残留電流と正則な分割関数を介して、それを解析的空間へと持ち上げる。
• 多様体に付随する残留電流 $R$ を用いて、$ olimits\bar{\partial}$-閉性および正則拡張条件を定義・分析する。
• 大域的問題を特異点近傍での局所的可解性に還元し、分割関数を用いて局所解を貼り合わせて、成長が制御された大域的解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタイン空間の正則点集合上で、任意の $ olimits\bar{\partial}$-閉な滑らかな $(0,q)$-形式は、特異点集合上で高々多項式的成長を示す滑らかな解をもつか？
• RQ2 埋め込みを用いずに、解析的空間上に内在的コッペルマン公式を構成できるか？
• RQ3 特異点集合にどのような条件下で、成長が制御された解が存在するのか。また、これはコhomologyの消滅とどのように関係するか？
• RQ4 残留電流と重み付き積分核は、有理型関数または弱正則関数の正則拡張をどのように特徴付けるか？
• RQ5 スタイン空間上での $H^q(X, \mathcal{O}_X)$ の $q \geq 1$ における消滅は、成長が制御された $ olimits\bar{\partial}$-方程式の滑らかな解の存在と同値か？

主な発見

• 任意のスタイン空間 $X$ の正則点集合上で滑らかな $ olimits\bar{\partial}$-閉な $(0,q)$-形式 $\phi$ に対して、$\bar{\partial}\psi = \phi$ を満たす $X_{\text{reg}}$ 上の滑らかな $(0,q)$-形式 $\psi$ が存在し、$\delta(z)$ を特異点集合への距離として、$\psi(z) = \mathcal{O}(\delta(z)^{-M})$ を満たすようなある $M$ が存在する。
• 解作用素 $\mathcal{K}$ は、内在的カーネル $K$ と $P$ の主値積分として構成され、コッペルマン公式 $\phi = \bar{\partial}\mathcal{K}\phi + \mathcal{K}(\bar{\partial}\phi)$ を満たす。
• $\phi \in C^{k}_{0,q}(Z)$ で $k \geq N+1$ かつ $\bar{\partial}\phi = 0$ ならば、$\mathcal{K}\phi$ は $X_{\text{sing}}$ で高々多項式的成長を示す滑らかな解である。
• スタイン空間上での $ olimits\bar{\partial}$-方程式の大域的解の存在は、$q \geq 1$ に対してドレーブォー・コhomology群 $H^q(X, \mathcal{O}_X)$ が消えることを意味する。
• スタイン空間 $X$ で $\nu \geq 2$ ならば、各既約成分 $X^\ell$ に対して $X_{\text{reg}}^\ell \setminus K$ が連結であれば、$X \setminus K$ 上の正則関数はコンパクト集合 $K$ を超えて正則に拡張できる。
• $\phi$ が $Z$ 上の有理型関数であるとき、$R \wedge \bar{\partial}\phi = 0$ であることは、$\phi$ が強く正則であることを特徴付ける。このことは、明示的な解析的拡張を伴うコッペルマン公式を用いて証明される。