[論文レビュー] Krammer representations for complex braid groups

Iván Marín|ArXiv.org|Nov 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限複素反射群に付随する複素ブレード群の一般化されたクラメール表現を、形式的パラメータ $h$ とパラメータ $m$ を用いた $W$-不変かつ可積分な1次形式のモノドロミーを用いて構成する。この表現は、A型・D型・E型および奇数の二面体型のコクセター群に対して半単純かつ忠実であり、ザリスキ・tightな像と残余的ねじれ自由性を示し、これらの群の線形性に関する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Let B be the generalized braid group associated to some finite complex reflection group. We define a representation of B of dimension the number of reflections of the corresponding reflection group, which generalizes the Krammer representation of the classical braid groups, and is thus a good candidate in view of proving the linearity of these groups. We decompose this representation in irreducible components and compute its Zariski closure, as well as its restriction to parabolic subgroups. We prove that it is faithful when W is a Coxeter group of type ADE and odd dihedral types, and conjecture its faithfulness when W has a single class of reflections. If true, this conjecture would imply various group-theoretic properties for these groups, that we prove separately to be true for the other groups.

研究の動機と目的

• 有限複素反射群 $W$ に付随する一般化ブレード群 $B$ の表現を、古典的クラメール表現を一般化する形で構成すること。
• この表現が $W$ がA型・D型・E型または奇数の二面体型のコクセター群である場合に忠実であることを証明すること。
• 表現の構造を、既約分解、ザリスキ閉包、およびパラボリック部分群への制限の観点から分析すること。
• すべての $W$ が反射の1つの共役類をもつ場合に忠実であると予想し、強い群論的性質を示唆すること。
• すべての $m$ に対して表現が半単純であり、$R(P)$ が有限個の例外値を除いて残余的ねじれ自由な冪零的であることを確立すること。

提案手法

• 表現は、反射超平面配置の補集合上で定義された $W$-不変かつ可積分な1次形式 $\omega = h\sum t_s \omega_s$ のモノドロミーとして構成される。
• 行列 $t_s \in \mathfrak{gl}(V)$ は、基底 $\{v_s \mid s \in \mathcal{R}\}$ を持つベクトル空間 $V$ 上で作用し、$t_s.v_s = m v_s$ および $u \neq s$ のとき $t_s.v_u = v_{sus} - \alpha(s,u)v_s$ で定義される。ここで $\alpha(s,u)$ は $ysy = u$ の解の数を数える。
• 可積分性はすべての $m \in \mathbb{C}$ に対して示され、一般化されたキニジヒニク・ツァモロチキン系の性質に依拠する。
• パラボリック部分群へのモノドロミー表現の制限は、対応する部分形式のモノドロミーと同型であることが示され、A型コクセターの場合の結果を一般化する。
• 表現は $W$ 内の反射の共役類に添え字が付く既約成分に分解され、各成分は $\mathrm{GL}(V_c)$ においてザリスキ・tightな像を持つ。
• 各既約成分におけるヘルミート形式の判別式を明示的に計算し、$m$ に関する有理関数として、既知の極と零点を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限複素反射群に付随する複素ブレード群に対して、クラメール表現の自然な一般化は存在するか？
• RQ2 どの複素反射群に対して、構築された表現が忠実であるか？
• RQ3 モノドロミー表現の構造は、既約成分およびそれらのザリスキ閉包の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ4 表現はパラボリック部分群への制限においてどのように振る舞うか？
• RQ5 表現の構造から、群論的性質（例：残余的ねじれ自由性）はどのようなものが導かれるか？

主な発見

• モノドロミー表現 $R$ は、有限個の例外値を除き、すべての $m \in \mathbb{C}$ に対して半単純である。
• $W$ 内の反射の共役類と $R$ の既約成分 $R_c$ の間には自然な全単射が存在し、各 $R_c(B)$ は $\mathrm{GL}(V_c)$ においてザリスキ・tightな像を持つ。
• 純ブレード群 $P$ は、$R(P)$ が残余的ねじれ自由な冪零的であるような表現を介して作用する。
• A型・D型・E型および奇数の二面体型のコクセター群に対して、表現は忠実である。
• 各既約成分におけるヘルミート形式の判別式は $m$ に関する有理関数であり、$G_{13}$、$G_{31}$、$G(2e,e,r)$ などのいくつかのタイプについて明示的に計算され、極と零点が特定されている。