[論文レビュー] Krylov complexity of many-body localization: Operator localization in Krylov basis

Fabian Ballar Trigueros, Cheng-Ju Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2021

Quantum many-body systems参考文献 77被引用数 84

ひとこと要約

本稿は、Krylov基底フレームワークを用いて多体局在化（MBL）系における演算子の成長を調査する。ここでは、演算子ダイナミクスが、Lanczos係数を hopping 振幅とする半無限鎖上の単粒子 hopping 問題に写像される。Lanczos係数が漸近的に遍歴系と同様に ∼n/ln(n) とスケーリングするにもかかわらず、MBL系では偶奇の交互に現れる構造と有効なランダムネスが生じ、局在した波動関数と有界なKrylov複雑性をもたらし、Krylov空間内での演算子の局在を示している。

ABSTRACT

We study the operator growth problem and its complexity in the many-body localization (MBL) system from the Lanczos algorithm perspective. Using the Krylov basis, the operator growth problem can be viewed as a single-particle hopping problem on a semi-infinite chain with the hopping amplitudes given by the Lanczos coefficients. We find that, in the MBL systems, the Lanczos coefficients scale as $\sim n/\ln(n)$ asymptotically, same as in the ergodic systems, but with an additional even-odd alteration and an effective randomness. We use a simple linear extrapolation scheme as an attempt to extrapolate the Lanczos coefficients to the thermodynamic limit. With the original and extrapolated Lanczos coefficients, we study the properties of the emergent single-particle hopping problem via its spectral function, integrals of motion, Krylov complexity, wavefunction profile and return probability. Our numerical results of the above quantities suggest that the emergent single-particle hopping problem in the MBL system is localized when initialized on the first site. We also study the operator growth in the MBL phenomenological model, whose Lanczos coefficients also have an even-odd alteration, but approach constants asymptotically. The Krylov complexity grows linearly in time in this case.

研究の動機と目的

• 多体局在化（MBL）系における演算子成長と複雑性を、Krylov基底フレームワークを用いて理解すること。
• MBL系におけるLanczos係数の振る舞いを分析し、遍歴的および可積分的領域と比較すること。
• Krylov空間における顕在的な単粒子 hopping 問題が、MBL系において局在的か拡散的かを調査すること。
• MBL系において、Lanczos係数の線形外挿法が熱力学的極限への推定に有効かどうかを検討すること。
• 微視的MBLモデルとlビット演算子を有する擬似的MBLモデルにおけるKrylov複雑性の違いを比較すること。

提案手法

• 演算子ダイナミクスのKrylov基底を生成するためLanczosアルゴリズムを適用し、問題を半無限鎖上の単粒子 hopping ハミルトニアンに写像する。
• 有効な単粒子モデルにおける hopping 振幅としてLanczos係数を用い、初期状態を最初のサイトに局在化させる。
• 局在性の性質を調べるために、スペクトル関数、波動関数の分布、戻り確率、保存量の積分を計算する。
• 顕在的な単粒子波動関数の平均位置をKrylov複雑性として定義し、演算子の拡散度を定量化する。
• Lanczos係数の線形外挿を実行し、熱力学的極限における挙動を推定するが、既知の限界に注意する。
• 微視的MBLモデル（ランダム磁場イジング鎖）とlビット反転演算子を有する擬似的モデルの両方の結果を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MBL系におけるLanczos係数は、遍歴系と同様に同じ漸近的スケーリングを示すか？ さらにどのような追加構造が現れるか？
• RQ2 Krylov基底において初期状態が最初のサイトに局在化された場合、顕在的な単粒子 hopping 問題はMBL系で局在的か？
• RQ3 MBL系におけるKrylov複雑性は時間とともにどのように変化するか？ また、遍歴的および可積分的領域と比べてどう異なるか？
• RQ4 Lanczos係数の線形外挿は、MBL系の熱力学的極限における理解に意味のある洞察を提供できるか？
• RQ5 微視的MBLモデルと擬似的lビットモデルにおけるKrylov複雑性にはどのような相違があるか？

主な発見

• MBL系におけるLanczos係数は、漸近的に ∼n/ln(n) とスケーリングし、遍歴系と一致するが、偶奇の交互に現れる構造と有効なランダムネスが追加される。
• Krylov基底における顕在的な単粒子波動関数は、最初のサイトに初期化された場合でも局在し続けるため、Krylov空間内での演算子の局在が示唆される。
• MBL系ではKrylov複雑性が時間に対して有界に保たれるが、これは遍歴系で予想される超多項式的（指数的またはストレッチド指数的）な増加とは対照的である。
• スペクトル関数と戻り確率は、波動関数の拡散の兆候がなく、局在性の兆候を示している。
• 擬似的lビットモデルでは、Lanczos係数は定数に近づき、偶奇の交互に現れるが、Krylov複雑性は時間とともに線形に増加し、波フロントが進行する。
• Lanczos係数の線形外挿は、熱力学的極限への道筋を示唆するが、正確な熱力学的挙動を捉えるにはあまりに単純すぎる可能性がある。