[論文レビュー] Kuranishi homology and Kuranishi cohomology: a User's Guide

Dominic Joyce|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ゲージ固定写像を備えたコンパクトで向き付け可能なカウリシ空間から構成されるチェインを用いて、オルビフォールドのための新しいホモロジー理論、カウリシホモロジーおよびコホモロジーを導入する。カウリシホモロジーが特異ホモロジーと同型であり、カウリシコホモロジーがコンパクト-supporredコホモロジーと同型であることを証明し、摂動を用いないことでシンプレクティック幾何学における仮想サイクルの構成を簡略化する枠組みを提供する。

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. This paper is a brief introduction to the author's book arXiv:0707.3572. Let Y be an orbifold and R a Q-algebra. We define the Kuranishi homology KH_*(Y;R) of Y with coefficients in R. The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G "gauge-fixing data" which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that KH_*(Y;R) is isomorphic to singular homology. We define a Poincare dual theory of Kuranishi cohomology KH^*(Y;R), isomorphic to compactly-supported cohomology, using a cochain complex KC^*(Y;R) spanned over R by [X,f,C], for X a compact Kuranishi space with corners, f : X --> Y a submersion, and C "co-gauge-fixing data". We also define simpler theories of Kuranishi bordism KB_*(Y;R) and Kuranishi cobordism KB^*(Y;R), for R a commutative ring. These are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology.

研究の動機と目的

• ゲージ固定データを備えたカウリシ空間を用いて、オルビフォールドのための新しいホモロジー理論—カウリシホモロジー—を構築すること。
• カウリシホモロジーが特異ホモロジーと同型であり、カウリシコホモロジーがコンパクトに台を持つコホモロジーと同型であることを確立すること。
• Gromov–Witten不変量をℤ上で扱える強力な道具として、カウリシボルディズムおよびコボルディズムを導入し、有理数係数を避けること。
• 摂動によるモジュライ空間の摂動を回避して、直接的にカウリシ（コ）ボルディズムにおけるGromov–Witten不変量を定義する枠組みを提供すること。
• Gopakumar–Vafaの整数性予想を支持するために、有理数的寄与を含むオルビフォールドのストラタが整数不変量に反映されることを捉えること。

提案手法

• X を角を持つコンパクトで向き付け可能なカウリシ空間とし、f: X → Y を強い滑らかさを持つ写像とし、G を自動同型群が有限であることを保証するゲージ固定データとする。そのような [X, f, G] の同値類が張るチェイン複体によりカウリシホモロジーを定義する。
• コオrientedな強い埋め込みとコゲージ固定データを用いたコチェイン複体によりカウリシコホモロジーを構成する。
• チェインレベルの構成により、カウリシホモロジー KH_*(Y;ℚ) が特異ホモロジー H_*^si(Y;ℚ) と同型であることを証明する。
• カウリシホモロジーとコホモロジーの間でPoincaré双対性を確立し、KH^*(Y;ℚ) ≅ H^*_cs(Y;ℚ) を示す。
• 可換環 R に対して、ボルディズムに関する同値類を用いたカウリシボルディズム KB_*(Y;R) およびコボルディズム KB^*(Y;R) を導入する。
• 位数が奇数である群 Γ を持つオルビフォールドストラタの構成 X^{Γ,ρ} を用いて射影写像を定義し、ℤ 上で無限生成であるカウリシ（コ）ボルディズム群であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ固定データを備えたカウリシ空間を用いて、オルビフォールドのためのwell-definedなホモロジー理論としてカウリシホモロジーを構築できるか？
• RQ2 カウリシホモロジーは特異ホモロジーと同型であり、カウリシコホモロジーはコンパクトに台を持つコホモロジーと同型か？
• RQ3 カウリシボルディズムは、オルビフォールドストラタからの有理数的寄与を捉える整数不変量を提供できるか？
• RQ4 ℤ 上で無限生成であるカウリシ（コ）ボルディズム群は、Gromov–Witten不変量のより深い整数性の性質を反映しているか？
• RQ5 この枠組みは、シンプレクティックトポロジーにおける摂動に基づく仮想サイクルの構成を置き換えることができるか？

主な発見

• カウリシホモロジー KH_*(Y;ℚ) は特異ホモロジー H_*^si(Y;ℚ) と同型であり、カウリシコホモロジー KH^*(Y;ℚ) はコンパクトに台を持つコホモロジー H^*_cs(Y;ℚ) と同型である。
• Y が空でなく連結なオルビフォールドであるとき、すべての k ∈ ℤ に対して、カウリシボルディズム群 KB_*(Y;ℤ) は ℤ 上で無限生成である。
• 次元 n の向き付け可能なオルビフォールド Y に対して、すべての k ∈ ℤ に対して、カウリシコボルディズム群 KB^{n-2k}(Y;ℤ) は ℤ 上で無限生成である。
• 位数が奇数で非自明な仮想表現 ρ を持つ有限群 Γ に対して、クラス C^{Γ,ρ} ∈ KB_{dim ρ}(Y;ℤ) は ℤ 上で線形独立である。
• Kuranishiボルディズム KB_*(M^m;ℤ) で定義されたGromov–Witten不変量は、特異ホモロジーのそれよりも多くの情報を含んでおり、オルビフォールドストラタからの寄与を含む。
• この枠組みにより、有理数係数を避けた整数不変量としてのGromov–Witten不変量を定義可能であり、Gopakumar–Vafaの整数性予想を支持する。