[論文レビュー] L^2-Betti numbers of coamenable quantum groups

David Kyed|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Advanced Operator Algebra Research被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、量子群のFølner型条件を導入し、包摂的 von Neumann 代数が行列係数のホップ *-代数上での次元平坦性であることを示すことで、トレーシング・ハール測度をもつ包摂的コンパクト量子群が、すべての正の次数で $L^2$-ベッチ数を零に持つことを確立する。主な貢献は、ルックの次元平坦性定理を量子群へ一般化し、古典的アーベル群における $L^2$-ベッチ数の消滅を量子設定へ拡張することである。

ABSTRACT

We prove that a compact quantum group is coamenable if and only if its corepresentation ring is amenable. We further propose a Foelner condition for compact quantum groups and prove it to be equivalent to coamenability. Using this Foelner condition, we prove that for a coamenable compact quantum group with tracial Haar state, the enveloping von Neumann algebra is dimension flat over the Hopf algebra of matrix coefficients. This generalizes a theorem of Lueck from the group case to the quantum group case, and provides examples of compact quantum groups with vanishing L^2-Betti numbers.

研究の動機と目的

• 離散群からコンパクト量子群へ、ルックの次元平坦性定理を一般化すること。
• コンパクト量子群に対して、コアメンビリティと同値であるFølner型条件を定義し、特徴づけること。
• トレーシング・ハール測度をもつコアメンビュラルコンパクト量子群が、すべての正の次数で $L^2$-ベッチ数を零に持つことを確立すること。
• コンパクト量子群のコアメンビリティとそのコアプレゼンテーション環のアーベル性との関係を明確にすること。
• クロス積構成を用いて、$L^2$-ベッチ数が自明である量子群の新しい例を提供すること。

提案手法

• ハイアイとイズミのファージョン代数に対するFølner型条件を、有限生成でない場合へ一般化することで、コンパクト量子群に対するFølner条件を導入する。
• コンパクト量子群がコアメンビュラルであることと、そのコアプレゼンテーション環がアーベルであることとは同値であることを証明し、コアメンビリティと代数的アーベル性の間の橋渡しを確立する。
• Følner 条件を用いて、行列係数のホップ $*$-代数 $A_0$ 上で包摂的 von Neumann 代数 $M$ が次元平坦であることを示す。
• ルックの拡張された Murray-von Neumann 維度関数を適用し、$\dim_M \operatorname{Tor}_p^{A_0}(M, \mathbb{C})$ を用いて $L^2$-ベッチ数を計算することで、古典的群の場合の一般化を達成する。
• コンパクト量子群とアーベル的離散群のバイクロスおよびコサイクルクロス積を用いて、新しいコアメンビュラル量子群を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト量子群に対して、コアメンビリティを特徴づけるFølner型条件は存在するか？
• RQ2 コンパクト量子群のコアメンビリティが、その行列係数の代数上での包摂的 von Neumann 代数の次元平坦性を意味するか？
• RQ3 アーベル群の場合と同様に、コアメンビュラルコンパクト量子群の $L^2$-ベッチ数は、すべての正の次数で消えるか？
• RQ4 コアプレゼンテーション環のアーベル性は、もとの量子群のコアメンビリティとどのように関係するか？
• RQ5 クロス積構成は、量子群の設定においてコアメンビリティとトレーシング・ハール測度を保存するか？

主な発見

• コンパクト量子群がコアメンビュラルであることと、そのコアプレゼンテーション環がアーベルであることとは同値であり、これは古典的群論的結果を量子設定へ拡張するものである。
• コンパクト量子群に対して、Følner型条件がコアメンビリティと同値であり、コアメンビリティの幾何的・解析的特徴づけを提供する。
• トレーシング・ハール測度をもつコアメンビュラルコンパクト量子群に対して、包摂的 von Neumann 代数 $M$ は、ホップ代数 $A_0$ 上で次元平坦である。これは、ルックの群の場合の結果を一般化する。
• その結果、すべての $p \geq 1$ に対して $\dim_M \operatorname{Tor}_p^{A_0}(M, \mathbb{C}) = 0$ が成り立ち、すべての正の次数の $L^2$-ベッチ数が消えることが示される。
• コアメンビュラルコンパクト量子群とアーベル的離散群のクロス積は、再びコアメンビュラルかつコンパクトであり、$L^2$-ベッチ数が自明な量子群の新しい例をもたらす。
• 離散アーベル的群とコンパクトコアメンビュラル量子群のバイクロス積構成により得られる Kac 代数は、再びコンパクトかつコアメンビュラルであり、トレーシング・ハール測度を保存する。