[論文レビュー] L^2-Homology for von Neumann Algebras

Alain Connes, Dimitri Shlyakhtenko|ArXiv.org|Sep 20, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、空間的テンソル積 $M \bar{\otimes} M^{o}$ を係数とする代数的 Hochschild 同調と、この代数上の次元を用いて $L^2$-Betti 数を定義することにより、von Neumann 代数に対する新しい $L^2$-同調理論を導入する。主な貢献は、トレースが $\lambda$ である射影による圧縮に対して、$\beta_k^{(2)}(pMp) = \lambda^{-2} \beta_k^{(2)}(M)$ というスケーリング性質が成り立つことであり、これは自由群因子の圧縮と整合しており、測度同値不変量とは異なっている。

ABSTRACT

We define the notion of L^2 homology and L^2 Betti numbers for a tracial von Neumann algebra, or, more generally, for any involutive algebra with a trace. The definition of these invariants is obtained from the definition of L^2 homology for groups, using the ideas from the theory of correspondences. For the group algebra of a discrete group, our Betti numbers coincide with the L^2 Betti numbers of the group. We find a link between the first L^2 Betti number and free entropy dimension, which points to the non-vanishing of L^2 homology for the von Neumann algebra of a free group.

研究の動機と目的

• von Neumann 代数に対する強力な不変量として、因子を区別できる堅牢な $L^2$-同調理論を構築すること。
• 自由確率論における $L^2$-Betti 数と自由エントロピー次元との間の関係を確立すること。
• 特に有界同調が代数を区別できないという事実を踏まえ、von Neumann 代数に対する有効なコホモロジー理論の欠如を解決すること。
• 代数的 Hochschild 同調 $H_k^{(2)}(M) = H_k(M; M \bar{\otimes} M^{o})$ を用いて $L^2$-Betti 数を定義し、$M \bar{\otimes} M^{o}$-加群としての次元を割り当てること。
• 圧縮における $L^2$-Betti 数のスケーリング行動を探索し、エルゴディック同値および自由確率論における既存の不変量と比較すること。

提案手法

• von Neumann 代数 $M$ の $L^2$-同調を、代数的 Hochschild 同調 $H_k^{(2)}(M) = H_k(M; M \bar{\otimes} M^{o})$ として定義する。
• $L^2$-Betti 数を次元 $\beta_k^{(2)}(M) = \dim_{M \bar{\otimes} M^{o}} H_k^{(2)}(M)$ により割り当てる。
• 対応関係の理論と群と von Neumann 代数の理論の類似性を用いて、定義の動機づけを行う。
• 自由半円分布変数と随伴作用素を用いて双対系を構成し、自由エントロピー次元の枠組みを実現する。
• 微小状態と微小状態なしエントロピーに関する Biane-Capitaine-Guionnet の不等式を活用し、$\beta_1^{(2)}(L(\mathbb{F}_n))$ の下界を評価する。
• von Neumann 代数の標準形の構成と Tomita-Takesaki 理論を用いて双対系を実現し、交換関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 von Neumann 代数に対して、圧縮に対してうまく振る舞い、自由確率論と関連する意味のある $L^2$-同調理論を定義できるか。
• RQ2 トレース $\lambda$ の射影による圧縮において、von Neumann 代数の $L^2$-Betti 数はどのようにスケーリングするか。
• RQ3 $L^2$-Betti 数と自由エントロピー次元の間に深い関係があるか。この関係を用いて新たな下界を得られるか。
• RQ4 この理論における $\lambda^{-2}$ スケーリングが、測度同値不変量における $\lambda^{-1}$ スケーリングと異なるのはなぜか。この差異は不変量の性質に何を示唆するか。
• RQ5 提案された $L^2$-Betti 数の定義は、自由確率論における既知の結果と整合的で、一意的であると特徴づけられるか。

主な発見

• $L^2$-Betti 数は、トレース $\lambda$ の射影 $p \in M$ に対して $\beta_k^{(2)}(pMp) = \lambda^{-2} \beta_k^{(2)}(M)$ を満たし、これは自由群因子の圧縮における振る舞いと一致する。
• 自由群 $\mathbb{F}_n$ の von Neumann 代数 $L(\mathbb{F}_n)$ に対して、第一の $L^2$-Betti 数は、自由確率論からの不等式に基づき $\beta_1^{(2)}(L(\mathbb{F}_n)) \geq n-1$ を満たす。
• 離散群 $\Gamma$ の修正自由エントロピー次元 $\delta_0(\Gamma)$ は、$\beta_1^{(2)}(\Gamma) - \beta_0^{(2)}(\Gamma) + 1$ によって上界で抑えられる。
• $\Gamma$ が性質 $T$ を持ち、$L(\Gamma)$ が拡散的であるならば、$\delta_0(\Gamma) \leq 1$ であり、$L(\Gamma)$ が自由群因子の超冪に埋め込める場合には等号が成り立つ。
• 理論は堅牢である：代替定義では自由エントロピーとの関係が得られず、現在の定義が自然であることが示唆される。
• アーベルな von Neumann 代数に対しては $L^2$-Betti 数は消える：すべての $k \geq 1$ に対して $\beta_k^{(2)}(A) = 0$。