[論文レビュー] $L^2$-Theory of Linear Degenerate SPDEs and $L^p$ ($p>0$) Estimates for the Uniform Norm of Weak Solutions

Jinniao Qiu|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形退化確率偏微分方程式（SPDE）の$L^2$理論を確立し、確率的デ・ジョルジ反復を用いて弱解の汎用ノルムに対する$L^p$（$p>0$）推定を証明する。主な貢献は、上超放物条件を要件としない最大原理であり、一般係数の可積分性を有する非有界領域における退化SPDEに既存結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with possibly degenerate stochastic partial differential equations (SPDEs). An $L^2$-theory is introduced, from which we derive the Hörmander theorem with an analytical approach. With the method of De Giorgi iteration, we obtain the maximum principle which states the $L^p$ ($p>0$) estimates for the time-space uniform norm of weak solutions.

研究の動機と目的

• 上超放物条件を要件としない線形かつ可能に退化するSPDEの$L^2$理論を開発すること。
• 解析的手法と事前推定を用いて、ホルマンダー型の超局所性定理を導出すること。
• 退化SPDEの弱解に対して最大原理を証明し、時間空間における汎用ノルムに対する$L^p$（$p>0$）バインドを提供すること。
• 既存のSPDEの$L^p$推定を有界領域および$p \geq 2$に制限されていたのを、非有界領域およびすべての$p>0$に拡張すること。
• 係数に対する最小限の正則性仮定の下で、解のesssupノルムの均等可積分性を確立すること。

提案手法

• 近似上超放物方程式の構築と擬微分作用素技法の適用により、退化SPDEの$L^2$理論を構築する。
• 事前推定と確率的設定に適応したデ・ジョルジ反復法を用いて、解の正部の成長を制御する。
• エネルギー推定における解の正部の確率積分項を処理するために、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式を適用する。
• マーティングール項を制御するため、小さな時間間隔$\tau = T \wedge (1/(4C))^{2/q}$を用いた停止時刻の議論を実施する。
• 切り上げ関数とスケーリングの議論を用いて、局所的なデ・ジョルジ反復を、汎用ノルムに対するグローバル$L^p$バインドに拡張する。
• エネルギー推定、確率積分のバインド、指数モーメントによる尾確率制御を組み合わせることで、最大原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上超放物条件を仮定しない線形退化SPDEに対して、$L^2$理論を構築することは可能か？
• RQ2 確率的カップリングを用いず、解析的手法により退化SPDEに対してホルマンダー型の超局所性定理が成立するか？
• RQ3 有界領域および$p \geq 2$を要件としない非有界領域において、弱解の時間空間汎用ノルムに対する$L^p$（$p>0$）推定を確立できるか？
• RQ4 退化拡散係数および滑らかでない係数を有する確率的PDEに、デ・ジョルジ反復法が適用可能か？
• RQ5 係数およびデータに対する最小限の可積分性と正則性仮定の下で、弱解の最大原理を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、線形退化SPDEの$L^2$理論を確立し、$f,g,h$が$H^m$正則性を有する場合、$L_k u \in L^2(\Omega \times [0,T]; H^m)$が成り立つことを示す。
• ホルマンダー型条件を満たす場合、解は$u \in L^2(\Omega \times [0,T]; H^{m+\eta})$を満たし、ある$\eta \in (0,1]$が存在する。
• 最大原理により、すべての$p > 0$に対して$E\|u^\mp\|_{L^\infty(Q)}^p \leq C \Xi(\underline{u}_0^\mp, f^\mp, g, h)$が成り立ち、$C$は$d,p,T$および係数に依存する。
• 上超放物性条件を要件としない点が、既存研究が$p \geq 2$および有界領域に制限されていたのと比較して、本稿の主な新規性である。
• 証明は、モーザー法を避ける確率的デ・ジョルジ反復のバージョンに依拠しており、非有界領域における$p>0$推定を可能にする。
• 本手法は係数正則性の緩和に対してもロバストであり、標準的乗数理論により滑らかさの仮定を弱めることが可能である。