[論文レビュー] $L^2$-topology and Lagrangians in the space of connections over a Riemann surface

Tomasz Mrowka, Katrin Wehrheim|arXiv (Cornell University)|May 5, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン面に $L^2$-位相を備えた接続の空間におけるゲージ軌道の均等な局所擬凸性と局所経路連結性を、定量的 $L^2$-局所スライス定理を用いて確立する。主な貢献は、ヤン・ミルズフローティーリー理論におけるラグランジュ境界条件付きのコンパクトネスの証明に不可欠な、ゲージ軌道内における経路長の均等な上限の確立である。

ABSTRACT

We examine the $L^2$-topology of the gauge orbits over a closed Riemann surface. We prove a subtle local slice theorem based on the div-curl Lemma of harmonic analysis, and deduce local pathwise connectedness and local uniform quasiconvexity of the gauge orbits. Using these, we generalize compactness results for anti-self-dual instantons with Lagrangian boundary counditions to general gauge invariant Lagrangian submanifolds. This provides the foundation for the construction of instanton Floer homology for pairs of a $3$-manifold with boundary and a Lagrangian in the configuration space over the boundary.

研究の動機と目的

• リーマン面上の接続空間における $L^2$-位相とそのゲージ群による商空間の理解を図ること。
• $p>2$ の $L^p$-正則性を満たす接続に対して、$L^2$-位相下でのゲージ軌道の局所連結性と均等な局所擬凸性を確立すること。
• 3次元多様体の境界を持つヤン・ミルズフローティーリー理論において不可欠な、ゲージ不変ラグランジュ部分多様体の幾何的制御を提供すること。
• ハンドル体境界などの特殊ケースにとどまらず、一般のゲージ不変ラグランジュ境界条件付きの自己双対インスタントンのコンパクトネス結果を拡張すること。
• 曲率の上限と擬凸性を用いた、将来的なゲージ不変ラグランジュ多様体の局所凸性の証明の定量的基盤を構築すること。

提案手法

• $p>2$ の $L^p$-接続空間におけるゲージ軌道の幾何を分析するために、定量的 $L^2$-局所スライス定理を用いる。
• 接続空間 $\mathcal{A}^{0,p}(\Sigma)$ に $L^2$-位相を導入し、ゲージ群 $\mathcal{G}^{1,p}(\Sigma)$ の作用を研究する。
• $L^2$-球内に近接する点を結ぶ連続的経路を構成することで、局所経路連結性を確立する。
• このような経路の導関数の $L^2$-ノルムに均等な上限を課し、軌道に依存する定数 $C$ を用いた擬凸性を保証する。
• 局所チャーン・サイモンズ汎関数とエネルギー推定を用いて、可縮接続付近でのインスタントンの振る舞いを制御する。
• 積分と減衰推定を適用し、エネルギー $\mathcal{E}(r)$ が $r$ が小さいとき $r^{2\beta}$ の割合で減少することを示し、$\beta>0$ はラグランジュの幾何に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面上の $L^p$-接続空間におけるゲージ軌道は、$L^2$-位相下で局所的に経路連結であると示せるか？
• RQ2 任意の2点が十分小さな $L^2$-球内にある場合、それらを結ぶ経路の $L^2$-長さが、その距離の $C$ 倍で抑えられるような、均等な定数 $C$ が存在するか？
• RQ3 ゲージ軌道の局所的擬凸性を用いて、一般のゲージ不変ラグランジュ境界条件付き自己双対インスタントンのモジュライ空間のコンパクトネスを証明できるか？
• RQ4 可縮接続付近におけるインスタントンのエネルギー $\mathcal{E}(r)$ の減少率は何か？また、曲率の上限とどのように関係するか？
• RQ5 短い経路に沿って、局所チャーン・サイモンズ汎関数が適切に定義され、連続的であり、エネルギーの制御が可能か？

主な発見

• ゲージ軌道 $\mathcal{G}^{1,p}(\Sigma)^*B$ は $L^2$-位相下で局所的に経路連結である：任意の $\varepsilon>0$ に対して、$\delta>0$ が存在し、$L^2$-距離が $\delta$ 未満の任意の2点は、半径 $\varepsilon$ の $L^2$-球内で連続的経路で結べる。
• 接続経路は $\mathcal{A}^{0,p}(\Sigma)$ への滑らかな写像として選べ、$\|\partial_t A_t\|_{L^2} \leq C\|A_1 - A_0\|_{L^2}$ を満たす。ここで $C$ は軌道 $[B]$ に依存する。
• 非可縮接続に対しては、$L^p$-有界な軌道の部分集合上で、擬凸性の上限定数 $C$ を一様に選べる。
• 可縮接続付近におけるインスタントンのエネルギー $\mathcal{E}(r)$ は、$\mathcal{E}(r) \leq C r^{2\beta}$ と減少する。ここで $\beta = \pi^{-1}(1 + \pi C_{\mathcal{L}})^{-2} > 0$ である。
• 局所チャーン・サイモンズ汎関数 $\mathcal{C}\mathcal{S}(A(r,\cdot))$ は、$\frac{\pi(1 + \pi C_{\mathcal{L}})^2}{4} \int_0^\pi r^2 \|F_\Xi(r,\phi)\|_{L^2}^2 d\phi$ で抑えられ、$r \to 0$ のとき 0 に収束する。
• 拡張されたインスタントン $\tilde{\Xi}$ のエネルギーは $\mathcal{E}(\rho) = -\mathcal{C}\mathcal{S}(A(\rho,\cdot)) + \mathcal{C}\mathcal{S}(A(\delta,\cdot))$ と表され、チャーン・サイモンズ汎関数によるエネルギー制御が可能になる。