[論文レビュー] L-algebras, triplicial-algebras, within an equivalence of categories motivated by graphs

Philippe Leroux|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、L-代数をL-コアルゲブラの双対として導入し、Cartier-Milnor-Moore型構造定理を用いてL-代数と連結なコアソシエイティブなトリプレシアル・バイアリューブラ代数の間の圏同値を確立する。L-オペラッドがKoszulであることを証明し、自由L-代数が奇数のノードを持つ根付き平面対称三枝木から実現されることを示す。一方、自由トリプレシアル代数は偶数の木に対応し、三つ組 (As, Trip, L) は良い三つ組を形成する。

ABSTRACT

In a previous work, we gave a coalgebraic framework of directed graphs equipped with weights (or probability vectors) in terms of (Markov) L-coalgebras. They are K-vector spaces equipped with two co-operations, Δ_M, ildeΔ_M verifying, ( ildeΔ_M \otimes id)Δ_M =(id \otimes Δ_M) ildeΔ_M. In this paper, we study the category of L-algebras (dual of L-coalgebras), prove that the free L-algebra on one generator is constructed over rooted planar symmetric ternary trees with odd numbers of nodes and the L-operad is Koszul. We then introduce triplicial-algebras: vector spaces equipped with three associative operations verifying three entanglement relations. The free triplicial-algebra is computed and turns out to be related to even trees. Via a general structure theorem (à la Cartier-Milnor-Moore), we obtain that the category of L-algebras is equivalent to a much more structured category called connected coassociative triplicial-bialgebras (coproduct linked to operations via infinitesimal relations), that is the triple of operads (As, Trip, L) is good. Bidirected graphs, related to NAP-algebras, are briefly evoked and postponed to another paper.

研究の動機と目的

• 一般化された構造定理を用いて、L-代数と連結なコアソシエイティブなトリプレシアル・バイアリューブラ代数の間の圏同値を確立すること。
• ベクトル空間上での自由L-代数が、奇数のノードを持つ根付き平面対称三枝木によって生成されることを特徴づけること。
• 三つの結合的演算子が三つの絡み合い関係を満たすベクトル空間としてのトリプレシアル代数を定義し、それらを研究すること。
• L-オペラッドがKoszulであることを証明し、OEISの数列A006013に対する代数的解釈を提供すること。
• 三つのオペラッドの三つ組 (As, Trip, L) が良い三つ組を形成することを示し、圏の同値性を可能にすること。

提案手法

• 先行研究におけるL-コアルゲブラ枠組みを双対化し、L-代数をその双対圏として構成する。
• ベクトル空間 V 上の自由L-代数は、奇数のノード数を持つ根付き平面対称三枝木によって張られる K-ベクトル空間として実現される。
• 本稿では、三つの結合的演算子が三つの絡み合い関係を満たす代数としてトリプレシアル代数を導入する。
• 微小関係によって結ばれたコアソシエイティブなコプロダクトを持つマグマ的オペラッドに対して、一般化されたCartier-Milnor-Moore型構造定理を構築する。
• 三つ組 (As, Trip, L) の良い三つ組条件を用いて、L-代数と連結なコアソシエイティブなトリプレシアル・バイアリューブラ代数の間の同値性を証明する。
• L-オペラッドとその双対の生成関数が合成的逆関数であることが示され、Koszul双対性が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L-コアルゲブラ枠組みの双対を体系的に構成することで、L-代数の圏が得られるか？
• RQ2 自由L-代数の背後にある組合せ的構造は何か？また、それらは根付き平面対称三枝木とどのように関係するか？
• RQ3 トリプレシアル代数の定義的公理と性質は何か？それらはL-代数構造とどのように関係するか？
• RQ4 三つのオペラッドの三つ組 (As, Trip, L) は、圏同値性を可能にする条件を満たすか？
• RQ5 L-オペラッドがKoszulであることを示せるか？また、これによりオペラッドとその双対の生成関数にどのような意味が生じるか？

主な発見

• ベクトル空間 V 上の自由L-代数は、奇数のノードを持つ根付き平面対称三枝木によって張られる K-ベクトル空間と同型である。
• V 上の自由トリプレシアル代数は、偶数の木によって張られる K-ベクトル空間と同型であり、自由対象の組合せ的実現が得られる。
• L-オペラッドがKoszulであることが証明され、その生成関数は双対の生成関数の合成的逆関数であることが示された。
• 三つ組 (As, Trip, L) は良い三つ組を形成し、L-代数の圏と連結なコアソシエイティブなトリプレシアル・バイアリューブラ代数の圏との間の圏同値性が確立された。
• L-代数上には不変な反対称な二項写像は存在しない。これは、二項演算子に必要な3次元自己同型が実現できないためである。
• オペラッド UAs の生成関数は fUAs(x) = 1/(1−x) であり、これが自由代数構成における双対性の確立に用いられた。