[論文レビュー] $L$-complete Hopf algebroids and their comodules

Andrew Baker|ArXiv.org|Jan 11, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可換ノエター正則完備局所環上の $L$-完備ホップアレーブロイドを導入し、代数的トポロジーにおけるそのコモジュールに焦点を当てる。有限生成コモジュールが Landweber のフィルトレーションを有することを確立し、ホップ代数の古典的結果を一般化するためのユニポテンツホップアレーブロイドの概念を導入する。

ABSTRACT

We investigate Hopf algebroids in the category of $L$-complete modules over a commutative Noetherian regular complete local ring. The main examples are provided by the Hopf algebroids associated to Lubin-Tate spectra in the K(n)-local stable homotopy category and we show that these have Landweber filtrations for all finitely generated discrete modules. Along the way we investigate the canonical Hopf algebras associated to Hopf algebroids over fields and introduce a notion of unipotent Hopf algebroid generalising that for Hopf algebras. In two appendices we continue the discussion of the connections with twisted group rings, and expand on a result of Hovey on the non-exactness of coproducts of L-complete modules.

研究の動機と目的

• 可換ノエター正則完備局所環上の $L$-完備モジュールの圏におけるホップアレーブロイドの理論を構築すること。
• 特に $K(n)$-局所安定ホモトピー理論の文脈において、$L$-完備ホップアレーブロイド上のコモジュールの構造を理解すること。
• ユニポテンツホップ代数の概念をホップアレーブロイドへ一般化し、その表現論を研究すること。
• Lubin-Tate スペクトル $E$ に対応するホップアレーブロイド $E^ u_*E$ が、有限生成コモジュールに対して Landweber フィルトレーションを有することを確認すること。
• Greenlees-May や Hovey-Strickland の研究と関連して、ホモトピー論における $L$-完備モジュールと他の完備化理論との違いを明確にすること。

提案手法

• $rak{m}$-adic 完備化の導来函手に基づく $L$-完備モジュールの概念を、可換ノエター正則完備局所環 $R$ 上のモジュールの圏へ適応する。
• $L$-完備 $R$-モジュールの圏におけるホップアレーブロイドとして $L$-完備ホップアレーブロイドを定義し、Lubin-Tate スペクトルに関連するホップアレーブロイド $E^ u_*E$ に特に注目する。
• ユニポテンツホップ代数の一般化として、体上のユニポテンツホップアレーブロイドを定義し、関連するホップ代数の構成を用いる。
• 有限生成離散コモジュールに対して Landweber フィルトレーション定理を適用し、単純な商を持つ合成系列の存在を示す。
• コシュール分解と $ ext{Tor}$-計算を用いて、導来函手 $L_s$ を分析し、特定のモジュールに対して $L_1$ が非ゼロであることを証明する。
• 逆極限技法と $ ext{lim}^1$ および $ ext{lim}$ を含む完全系列における図式引きの技法を用い、$L_0$ が無限和に対して単射でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L$-完備ホップアレーブロイド上の有限生成コモジュールは、単純な商を持つ合成系列を有するか？
• RQ2 ユニポテンツホップアレーブロイドの概念は、古典的ユニポテンツホップ代数理論をどのように一般化するか？
• RQ3 ホップアレーブロイド上のコモジュールとその関連ホップ代数上のコモジュールとの関係は何か？
• RQ4 $L$-完備モジュールの無限和に対して $L_0$-函手は正確か？ そして、$L$-完備モジュールの圏に与える影響は何か？
• RQ5 $K(n)$-局所圏における Lubin-Tate スペクトルに関連するホップアレーブロイドは、Landweber フィルトレーション性質を満たすか？

主な発見

• $L$-完備ホップアレーブロイド上の有限生成コモジュールは、各商が極大イデアルの冪で消える合成系列を持つ。
• フィールド上のホップアレーブロイドの関連ホップ代数がユニポテンツであれば、そのホップアレーブロイド自体もユニポテンツである。
• Lubin-Tate スペクトル $E$ に対応するホップアレーブロイド $E^ u_*E$ は、すべての有限生成離散コモジュールに対して Landweber フィルトレーションを有する。
• $L_0(igoplus_k N) o L_0(igoplus_k M)$ への自然な写像は単射でないため、$L_0$ が $L$-完備モジュールの無限和に対して左完全でないことが示された。
• 特定の $L$-完備モジュール $M/N$ に対して $L_1(igoplus_k M/N)$ が非ゼロであるため、$L_0$ が正確であっても $L_1$ が消えないことが示された。
• $p,u$ が正則的に作用するモジュールに対しては、すべての $s > 0$ に対して $L_s(M) = 0$ である。これは、そのようなモジュールが $L$-完備であり、高次導来函手が自明であることを示している。