[論文レビュー] L-infinity algebras and their cohomology

Michael Penkava|ArXiv.org|Dec 12, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Hochschildおよび循環的コホモロジーを一般化することで、L-infinity代数のコホモロジー的枠組みを確立し、随伴表現における係数をとるLie代数のコホモロジーが、L-infinity代数への変形を分類することを示している。微分付き代数構造を備えたコホモロジーを付与するための変更された括弧をコデリバーションに導入し、Gerstenhaber括弧に類似した構造を構築している。これはテンソル代数と外積代数の双対性とパリティ反転を用いる。

ABSTRACT

An associative algebra is nothing but an odd quadratic codifferential on the tensor coalgebra of a vector space, and an A-infinity algebra is simply an arbitrary odd codifferential. Hochschild cohomology classifies the deformations of an associative algebra into an A-infinity algebra, and cyclic cohomology in the presence of an invariant inner product classifies the deformations of the associative algebra into an A-infinity algebra preserving the inner product. Similarly, a graded Lie algebra is simply a special case of an odd codifferential on the exterior coalgebra of a vector space, and an L-infinity algebra is a more general codifferential. In this paper, ordinary and cyclic cohomology of L-infinity algebras is defined, and it is shown that the cohomology of a Lie algebra (with coefficients in the adjoint representation) classifies the deformations of the Lie algebra into an L-infinity algebra. Similarly, the cyclic cohomology of a Lie algebra with an invariant inner product classifies the deformations of the Lie algebra into an L-infinity algebra which preserve the invariant inner product. The exterior coalgebra of a vector space is dual to the symmetric coalgebra of the parity reversion of the space, while the tensor coalgebra of a vector space is dual to the tensor coalgebra of its parity reversion. Using this duality, we introduce a modified bracket in the space of coderivations of the tensor and exterior coalgebras which makes it possible to treat the cohomology of an A-infinity or L-infinity as a differential graded algebra in the same manner in which the Gerstenhaber bracket is used to transform the Hochschild cochains of an associative algebra into a differential graded algebra.

研究の動機と目的

• A-infinity代数におけるHochschildコホモロジーの枠組みを、L-infinity代数にまで拡張して、変形のコホモロジー的分類をLie代数へと拡張すること。
• A-infinity代数におけるHochschildおよび循環的コホモロジーの類似として、L-infinity代数における通常および循環的コホモロジーを定義すること。
• 随伴表現における係数をとるLie代数のコホモロジーが、そのLie代数がL-infinity代数へと変形されることを分類することを確立すること。
• テンソル代数および外積代数のコデリバーションの空間に、Gerstenhaber括弧に類似した微分付き代数構造を付与する変更された括弧を導入すること。
• テンソル代数と外積代数の双対性およびパリティ反転を用いて、A-infinityおよびL-infinity代数のコホモロジー的取り扱いを統一すること。

提案手法

• ベクトル空間のテンソル代数とそのパリティ反転双対空間のテンソル代数の双対性を用いて、A-infinityおよびL-infinity構造を関連づける。
• テンソル代数および外積代数に「奇数のコデリバーション」の概念を適用し、それぞれA-infinityおよびL-infinity代数を定義する。
• テンソル代数および外積代数のコデリバーション空間に、Gerstenhaber括弧を模倣する変更された括弧を導入する。
• パリティ反転空間の対称代数の双対として外積代数を用いることで、構造的同等性を確立する。
• 随伴表現における係数をとるLie代数のコホモロジーを通じて、L-infinity代数のコホモロジーを定義する。
• 不変内積が存在する場合に、同じ枠組みを循環的コホモロジーに適用し、変形の過程で内積を保存することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie代数のコホモロジーは、どのようにしてL-infinity代数への変形を分類するために用いられるか？
• RQ2 HochschildコホモロジーのL-infinity代数への適切な一般化は何か？
• RQ3 不変内積が存在する場合、Lie代数がL-infinity代数へと変形される理論にどのような影響を与えるか？
• RQ4 Hochschildチェインに類似したGerstenhaber括弧に類似した、L-infinity代数のコホモロジーに微分付き代数構造を構成できるか？
• RQ5 テンソル代数と外積代数の双対性は、A-infinityおよびL-infinity代数のコホモロジー的取り扱いの統一にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 随伴表現における係数をとるLie代数のコホモロジーは、そのLie代数がL-infinity代数へと変形されることを分類する。
• 不変内積を持つLie代数の循環的コホモロジーは、内積を保存する変形を分類する。
• テンソル代数および外積代数のコデリバーションに導入された変更された括弧は、コホモロジーにGerstenhaber括弧に類似した微分付き代数構造を付与する。
• ベクトル空間の外積代数は、そのパリティ反転空間の対称代数の双対であり、構造的統一を可能にする。
• 空間のテンソル代数は、そのパリティ反転双対空間のテンソル代数の双対であり、この枠組みの基礎をなす双対性を提供する。
• この枠組みは、A-infinityおよびL-infinity代数を通じて、非可換代数からLie代数への変形のコホモロジー的分類を一般化する。