[論文レビュー] L_infinity algebras as 1-jets of simplicial manifolds (and a bit beyond)

Pavol Ševera|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Advanced Topics in Algebra被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$L_∞$-代数と単体的多様体の1-jetの間の対応関係を、関手的構成によって確立する。単体的多様体を$\mathbb{R}^{0|1}$-バンドルへの写像に制限することで、微分幾何的スーパemanifoldによって表される関手が得られ、これが$L_\infty$-代数構造を符号化する。主な結果は、Kan単体的多様体がその1-jetとして$L_\infty$-代数を導くことであり、これは高次ホモトピー構造への一般化として、古典的なLie群–Lie代数対応を拡張するものである。

ABSTRACT

The procedure "Lie group --> Lie algebra" has a generalization "simplicial manifold --> L_infinity algebra", or yet better, "presheaf on the category of surjective submersions --> L_infinity algebra". We describe this generalization, together with its higher-order extensions.

研究の動機と目的

• 古典的なLie群–Lie代数対応を、単体的技法を用いて高次ホモトピー構造および高次構造へ一般化すること。
• 単体的多様体の1-jetが、表現可能性を介して$L_\infty$-代数を導くことの証明。
• 多様体上の微分形式が$\mathbb{R}^{0|1}$からの写像空間上の関数として見なせるというアイデアを形式化し、幾何学とホモロジー代数を結びつけること。
• $\mathbb{R}^{0|n}$-バンドルを用いて1-jetを超える構成を拡張し、単体的多様体の高次j特を定義すること。
• $L_\infty$-代数を、導来的またはホモトピー的Lie代数の類似物として理解するための概念的で関手的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 単体的多様体$K_\bullet$に関連する、全射部分被覆から集合への反変関手$F$を、$\mathbb{R}^{0|1} \times N \to N$の形をした部分被覆の全subcategoryに制限する。
• $\mathrm{res}_1 F$を制限された関手と定義し、各$N$に対して$M \to N$のナーヴォーから$K_\bullet$への単体的写像の集合を割り当てる。
• $K_\bullet$がKanである場合、$\mathrm{res}_1 F$はスーパemanifold$X$によって表現可能であり、$X$は自然に微分幾何的グレーディング構造を備える。
• 制限と誘導の間の随伴を用いて、構造を元のカテゴリに再び持ち上げ、$X$値の平坦接続が得られる。
• $\mathbb{R}^{0|n}$-バンドルを用いて構成を一般化し、ファイバー積と被覆を用いた再帰的構成により、部分多様体を介して高次j特を定義する。
• 補題A.1のスーパemanifold版ホモトピー上昇性質を適用し、j特構成における誘導写像が全射被覆であることを保証し、表現可能性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的多様体からj特構成を用いて$L_\infty$-代数を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 $\mathbb{R}^{0|1}$-バンドルへの制限を通じて、単体的多様体が微分幾何的スーパemanifoldにどのように変換されるか、その関手的メカニズムは何か？
• RQ3 単体的多様体の1-jetが表現可能関手となる条件は何か？ そして、そのときどのような構造が誘導されるか？
• RQ4 高次元のスーパemanifold$\mathbb{R}^{0|n}$を用いて、1-jetを超える構成を一般化できるか？
• RQ5 $L_\infty$-代数のMaurer–Cartan方程式は、$\mathrm{Diff}(\mathbb{R}^{0|1})$の写像空間への作用からどのように生じるか？

主な発見

• Kan単体的多様体$K_\bullet$の1-jetは、微分幾何的スーパemanifold$X$によって表現可能であり、これは非正のグレーディングを持つ$L_\infty$-代数に対応する。
• $K_\bullet$がLie群$G$のナーヴォーである場合、関手$\mathrm{res}_1 F$は$\Pi \mathfrak{g}$によって表現可能であり、1-jetとしてLie代数$\mathfrak{g}$が回復される。
• $X$上の微分幾何的グレーディング構造は、$\mathrm{res}_1 F$が$\mathbb{R}^{0|1}$-バンドル間の写像に関して関手的であることから生じ、$L_\infty$-関係が符号化される。
• $K_0 = \{\mathrm{pt}\}$の場合、得られる$L_\infty$-代数は正のグレーディングを持ち、ファイバー内平坦接続は$L_\infty$-Maurer–Cartan方程式の解に対応する。
• 高次j特は、$\mathbb{R}^{0|n}$-バンドルを用いて再帰的に構成され、$H^{(k)} \subset \mathrm{Hom}((\mathbb{R}^{0|n})^k, K_k)$は全射被覆の塔をなす。
• 構成は、補題A.1のスーパemanifold版ホモトピー上昇性質に依存しており、j特構成における誘導写像が全射被覆であることを保証する。