[論文レビュー] Simplicial nerve of an A-infinity category

Giovanni Faonte|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、$τ$-圏に対する単体的ネorsi構成を導入し、それがルリーの意味での$∞$-圏を生じることを証明する。これは微分形式圏のdg-ネルスを一般化し、前三角的dg-圏がこのネルスを介して安定$∞$-圏を生じることを確立する。また、ネルスのホモトピー圏は、元の圏の0次コホモロジー圏と同一視される。

ABSTRACT

In this paper we introduce a functor, called the simplicial nerve of an A-infinity category, defined on the category of (small) A-infinity categories with values in simplicial sets. We prove that the simplicial nerve of any A-infinity category is an infinity category. This construction extends functorially the nerve construction for differential graded categories proposed by J.Lurie in Higher Algebra. We prove that if a differential graded category is pretriangulated in the sense of A.I.Bondal-M.Kapranov, then its nerve is a stable infinity category in the sense of J.Lurie.

研究の動機と目的

• $τ$-圏から単体的集合への単体的ネルス関手を定義すること。
• 任意の$τ$-圏のネルスが、ルリーの意味での$∞$-圏であることを証明すること。
• dg-圏の小さなdg-ネルス構成を一般化し、それをルリーのdg-ネルスと関連付けること。
• 前三角的dg-圏と安定$∞$-圏との間の対応関係を、ネルス構成を介して確立すること。
• ネルスのホモトピー圏を、元のdg-圏の0次コホモロジー圏と同一視すること。

提案手法

• 標準単体によって生成されるコシンプレックス$τ$-圏$τ[Δ^{-}]$を定義する。
• 任意の$τ$-圏$τ$への$τ$-関手としての単体的ネルスを構成し、単体的集合を得る。
• ドールド＝カーン対応を用いて、射のチェイン複体と単体的集合との関係を、大きなdg-ネルスの構成において確立する。
• 小さなdg-ネルスと大きなdg-ネルスの構成を比較し、それらが$∞$-圏として同値であることを示す。
• ホモトピー極限とコーン構成の分析を通じて、前三角的dg-圏のネルスが安定$∞$-圏であることを証明する。
• チェイン複体の射とホモトピー・ファイバーの間の準同型写像を確立し、コーンやシフトと整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $τ$-圏に対する単体的ネルス構成は、$∞$-圏を生成するか？
• RQ2 $τ$-圏の単体的ネルスは、小さなdg-ネルスと大きなdg-ネルスの構成とどのように関係するか？
• RQ3 前三角的dg-圏のネルスは、安定$∞$-圏か？
• RQ4 ネルスのホモトピー圏は、元のdg-圏の0次コホモロジー圏と同一視可能か？
• RQ5 前三角的dg-圏のネルスにおいて、コカートジアン図とカルテジアン図は同値か？

主な発見

• 任意の$τ$-圏の単体的ネルスは、ルリーの意味での$∞$-圏である。
• この構成は小さなdg-ネルスを一般化し、dg-圏に対してルリーのdg-ネルスを回復する。
• 前三角的dg-圏のネルスは安定$∞$-圏である。
• ネルスのホモトピー圏は、元のdg-圏の0次コホモロジー圏と同値である。
• 前三角的dg-圏のネルスにおいて、コカートジアン図とカルテジアン図が一致し、安定性を反映する。
• ネルス構成は関手的コーンを保存し、チェイン複体の準同型写像を通じて、写像空間にホモトピー同値を誘導する。