[論文レビュー] $L^p$-bounds for pseudo-differential operators on compact Lie groups

Julio Delgado, Michael Ruzhansky|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$G \times \widehat{G}$ 上の行列記号を用いて、コンパクトなリー群上の擬微分作用素の $L^p$-有界性を確立し、$\mathbb{R}^n$ 上のフェッファーマンの $L^p$ 界をコンパクト群へ拡張する。$\rho > \delta$ や $\rho > 1 - \delta$ を要求しないで、$\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ クラスの $L^p$ 界を証明し、$\mathscr{S}_{0,0}^m$ や $\mathscr{S}_{1/2,0}^m$ といった新規クラスを $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ 上で定義可能にする。古典的条件が成立しない状況でも有効である。

ABSTRACT

Given a compact Lie group $G$, in this paper we establish $L^p$-bounds for pseudo-differential operators in $L^p(G)$. The criteria here are given in terms of the concept of matrix symbols defined on the non-commutative analogue of the phase space $G imes\widehat{G}$, where $\widehat{G}$ is the unitary dual of $G$. We obtain two different types of $L^p$ bounds: first for finite regularity symbols and second for smooth symbols. The conditions for smooth symbols are formulated using $\mathscr{S}_{ρ,δ}^m(G)$ classes which are a suitable extension of the well known $(ρ,δ)$ ones on the Euclidean space. The results herein extend classical $L^p$ bounds established by C. Fefferman on $\mathbb R^n$. While Fefferman's results have immediate consequences on general manifolds for $ρ>\max\{δ,1-δ\}$, our results do not require the condition $ρ>1-δ$. Moreover, one of our results also does not require $ρ>δ$. Examples are given for the case of SU(2)$\cong\mathbb S^3$ and vector fields/sub-Laplacian operators when operators in the classes $\mathscr{S}_{0,0}^m$ and $\mathscr{S}_{\frac12,0}^m$ naturally appear, and where conditions $ρ>δ$ and $ρ>1-δ$ fail, respectively.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群上の擬微分作用素の $L^p$-有界性を、有限正則性を持つ記号および滑らかな記号について確立すること。
• 古典的な $\mathbb{R}^n$ 上の $L^p$ 界を、特に $\rho$ と $\delta$ パrameter に制限を設けずに、コンパクトなリー群へ拡張すること。
• $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ クラスを、非可換なホルンダのクラスの類似物として、コンパクトなリー群上に定義し、分析すること。
• $\rho \leq \delta$ または $\rho \leq 1 - \delta$ である場合でも、$L^p$ 有界性が成立することを示すこと。これは、古典的ユークリッド理論では成立しない条件である。
• $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ 上の作用素および部分ラプラシアンに対して、$\mathscr{S}_{0,0}^m$ および $\mathscr{S}_{1/2,0}^m$ が自然に現れるため、鋭い $L^p$ 界を提供すること。

提案手法

• コンパクトなリー群上でのグローバルな量子化を、$G \times \widehat{G}$ 上の行列記号を用いて行い、コーン＝ニレバーグ量子化を一般化する。
• 解析的関数族 $T_z$ を、$0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1$ の帯状領域に属するものとして、$L^2$ 有界性と $BMO$ 評価を用いて複素補間を適用する。
• $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 記号クラスを、作用素ノルムと行列記号の成長条件に基づき定義する。
• 半ノルムを用いて、$\mathscr{S}_{1-a,\delta}^{-\nu}$ に属する記号の $\|T_z\|_{\mathcal{L}(L^2)}$ の一様有界性を確立する。ここで $a = 1 - \rho$ である。
• 双対性と補間を用いて、$p=2$ での $L^p$ 界を $p \in (1,\infty)$ へ拡張し、条件 $\left| \frac{1}{p} - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{\nu}{na}$ を導出する。
• $\langle \xi \rangle^{i\frac{na}{2}s} I_{d_\xi} \in \mathscr{S}_{1-a,\delta}^0$ であるという事実を用いて、複素スケーリング下でも記号クラスが保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群上での擬微分作用素の $L^p$-有界性結果を、$\rho > \delta$ や $\rho > 1 - \delta$ を要求しないで、$\mathbb{R}^n$ 上の結果へ拡張可能か。
• RQ2 $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ に属する作用素が $L^p(G)$ 上で有界となる $p$ の鋭い範囲は何か。また、$\rho$, $\delta$, $m$ に依存するか。
• RQ3 $SU(2)$ のような非アーベルなコンパクトなリー群上では、$\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ クラスはどのように振る舞うか。古典的条件が成立しない状況でも。
• RQ4 複素補間と $BMO$ 評価を用いて、コンパクト群上での滑らかでない記号に対しても $L^p$ 界を導出可能か。
• RQ5 非可換位相空間 $G \times \widehat{G}$ は、擬微分作用素の $L^p$-有界性を特徴付ける上で果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、$\rho > \delta$ や $\rho > 1 - \delta$ を要求しないで、コンパクトなリー群上の $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 記号を持つ擬微分作用素の $L^p$-有界性を証明し、フェッファーマンの結果を拡張する。
• $a = 1 - \rho$ とおくと、$\mathscr{S}_{1-a,\delta}^{-\nu}(G)$ に属する記号に対して、作用素 $\sigma(x,D)$ は $\left| \frac{1}{p} - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{\nu}{na}$ を満たす $p$ に対して $L^p(G)$ 上で有界である。ここで $n = \dim G$ である。
• この界は鋭い：$G = \mathbb{T}^1$ の場合、$\nu_0 < \frac{1 - \rho}{2}$ ならば、$p=2$ の周囲の有限区間以外では $L^p$ 有界性は成立せず、古典的マルチプライヤー理論と一致する。
• $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ 上のクラス $\mathscr{S}_{0,0}^m(G)$ は有効であり、$L^p$-有界であることが示され、$\rho = 0 \leq \delta = 0$ であるため、古典的 $\rho > \delta$ 条件に違反しているにもかかわらず成立する。
• $SU(2)$ 上のクラス $\mathscr{S}_{1/2,0}^m(G)$ に対しても $L^p$-有界性が成立する。$\rho = \frac{1}{2} \leq 1 - \delta = 1$ であるため、$\rho > 1 - \delta$ 条件が満たされないが、障害にはならない。
• 本結果は、フェッファーマンの $L^p$ 評価をコンパクトなリー群へ一般化し、非可換記号計算を用いた非アーベル群上の $L^p$ 理論のフレームワークを提供する。