[論文レビュー] $L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in (1-\frac{c}{n^{\frac{3}{2}}}, 1)$

Shibing Chen, Yong Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対して、PDE手法（事前推定、Schauder理論、Leray-Schauder位相理論を含む）を用いて、KolesnikovとMilmanの局所的結果を拡張し、グローバルな $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式を確立する。主な貢献は、グローバルな $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式および、$C^\alpha$ 偶関数密度条件下での $L_p$-Minkowski 問題と対数的 Minkowski 問題における2つの一意性結果である。

ABSTRACT

Kolesnikov-Milman [9] established a local $L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in(1-c/n^{\frac{3}{2}},1).$ Based on their local uniqueness results for the $L_p$-Minkowski problem, we prove in this paper the (global) $L_p$-Brunn-Minkowski inequality. Two uniqueness results are also obtained: the first one is for the $L_p$-Minkowski problem when $p\in (1-c/n^{\frac{3}{2}}, 1)$ for general measure with even positive $C^α$ density, and the second one is for the Logarithmic Minkowski problem when the density of measure is a small $C^α$ even perturbation of the uniform density.

研究の動機と目的

• KolesnikovとMilmanの $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式の局所的結果を、$p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対してグローバル版に拡張すること。
• 測度が偶関数で正の $C^\alpha$ 密度を持つとき、$p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対して $L_p$-Minkowski 問題のグローバル一意性を確立すること。
• 測度が均一測度の小さな $C^\alpha$ 偶関数摂動であるとき、対数的 Minkowski 問題が一意解をもつことの証明。
• 局所的 $L_p$-Minkowski 問題の一意性結果が、局所からグローバルへの原理を用いてグローバル $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式を示すこと。

提案手法

• 事前推定、Schauder理論、Leray-Schauder位相理論を含むPDE技法を適応し、局所的 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式をグローバルなものに拡張する。
• KolesnikovとMilmanの $L_p$-Minkowski 問題の局所的一意性結果（$C^2$ 範囲内）を用いて、位相理論を介してグローバル解を構成する。
• 支持関数 $h_K$ に対してMonge-Ampère方程式の枠組みを適用し、$f$ を錐体積測度の密度とするとき、方程式 $\det(\nabla^2 h_K + h_K \delta_{ij}) = \frac{f}{h_K}$ を導出する。
• 単位球の小さな摂動下で、$h_L - 1$ の一様楕円型方程式に対してSchauder推定を適用し、$C^{2,\alpha}$ ノルムを制御する。
• Blaschkeの選択定理と錐体積測度の弱収束性を用いて、非一意性の状況で矛盾を導く。
• Boroczkyら[1]が確立したように、$L_p$-Minkowski 不等式と $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式の同値性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対して、局所的 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式が、原点対称凸体すべてに対してグローバル不等式に拡張可能か？
• RQ2 測度が偶関数で正の $C^\alpha$ 密度を持つとき、$p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対して $L_p$-Minkowski 問題の解が一意的か？
• RQ3 測度が均一測度の小さな $C^\alpha$ 偶関数摂動であるとき、対数的 Minkowski 問題は一意解をもつか？
• RQ4 局所的 $L_p$-Minkowski 問題の一意性結果が、局所からグローバルへの原理を用いてグローバル $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式を示せるか？

主な発見

• すべての $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対して、$c$ を普遍定数として、すべての原点対称凸体 $K, L \in \mathcal{K}_e$ に対してグローバル $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式が成り立つ。
• すべての偶関数で正の $C^\alpha$ 密度 $f$ に対して、$p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ のとき、$h_K^{1-p} dS_K = f dx$ を満たす $K \in \mathcal{K}_e$ として $L_p$-Minkowski 問題の解が一意に存在する。
• 測度が均一測度の小さな $C^\alpha$ 偶関数摂動であるとき、対数的 Minkowski 問題は一意解をもつ。
• $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式と $L_p$-Minkowski 不等式は同値であり、両者とも $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ に対してグローバルに成立する。
• 証明は局所からグローバルへの原理に依存している：$p$ の近傍で一様に局所的一意性が成り立つならば、グローバル不等式が導かれる。
• 単位球の小さな摂動下で、解に対して一様な $C^{2,\alpha}$ 推定を導出し、解空間における正則性とコンパクト性を保証する。