[論文レビュー] $L^{p}$ compactness criteria with an application to variational convergence of some nonlocal energy functionals

Qiang Du, Tadele Mengesha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の非回転対称相互作用カーネルによって定義される非局所エネルギー空間におけるベクトル場の $L^p$ コンパクト性基準を確立する。方向差分に基づく非局所的リース＝フレシェ＝コルモゴロフ型基準を導入することで、有界な列の $L^p$ における前コンパクト性を証明し、ペリダイナミクスや関連モデルにおける非局所エネルギー汎関数の変分的収束を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by some variational problems from a nonlocal model of mechanics, this work presents a set of sufficient conditions that guarantee a compact inclusion in the function space of $L^{p}$ vector fields defined on a domain $Ω$ that is either a bounded domain in $\mathbb{R}^{d}$ or $\mathbb{R}^{d}$ itself. The criteria are nonlocal and are given with respect to nonlocal interaction kernels that may not be necessarily radially symmetric. Moreover, these criteria for vector fields are also different from those given for scalar fields in that the conditions are based on nonlocal interactions involving only parts of the components of the vector fields. The $L^{p}$ compactness criteria are utilized in demonstrating the convergence of minimizers of parametrized nonlocal energy functionals.

研究の動機と目的

• 非径向的かつ非局所的な相互作用カーネルを有する非局所エネルギー空間におけるベクトル場の $L^p$ コンパクト性の十分条件を確立すること。
• カーネルが原点で可積分でないか、または回転対称でない場合に、$L^p$ における非局所系のコンパクト性基準が欠如している問題に取り組むこと。
• 力学および材料科学分野におけるパラメータ依存非局所エネルギー汎関数の変分的収束を証明するための枠組みを提供すること。
• 古典的なコンパクト性理論（例：リース＝フレシェ＝コルモゴロフ）を、ペリダイナミクスに適した非局所的かつ非対称な設定へ拡張すること。
• 非局所エネルギー収束と $L^p$ における最小化子の強い収束との間の橋渡しをすること。

提案手法

• 方向差分 $\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{x}')$ を用いて、ベクトル方向に沿った相対的変形を測る非局所セミノルム $|\mathbf{u}|_{\mathcal{S}_{\rho,p}}$ を導入する。
• $\rho(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \cdot |\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{y})|^p$ を $\Omega \times \Omega$ 上で重み付けた $L^p$ セミノルムを定義する。
• $\Gamma^\delta(\mathbf{z}) = \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}\chi_{\complement B_\delta}(\mathbf{z})$ からなる、恒等近似カーネルの族 $\mathbb{G}^\delta$ を構成し、それを行列値かつ回転対称となるように正規化する。
• $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p} \to 0$ が $\delta \to 0$ のとき $n$ に一様に成り立つならば、$\{\mathbf{u}_n\}$ が $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ で前コンパクトであることを示すために、リース＝フレシェ＝コルモゴロフ定理の変種を適用する。
• $\|\Gamma^\delta\|_{L^1} \to \infty$ である条件 (A.1) の下で、近似誤差を制御するための推定式 $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p}^p \leq C d^p / \|\Gamma^\delta\|_{L^1}$ を用いる。
• $\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$ における有界性が、任意の有界な開集合 $D$ に対して $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ における前コンパクト性を意味することを確立する。ただし、$\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}$ の原点近傍における非可積分性条件 (A.1) を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所カーネル $\rho$ がどのような条件下で、$\mathcal{S}_{\rho,p}(\Omega) \hookrightarrow L^p(D;\mathbb{R}^d)$ の埋込みが有界領域 $D$ に対して前コンパクトとなるか？
• RQ2 カーネル $\rho$ が回転対称でない場合に、非局所的ベクトル場の $L^p$ におけるコンパクト性を確立できるか？
• RQ3 古典的なリース＝フレシェ＝コルモゴロフのコンパクト性基準を、非局所的かつ非対称な相互作用作用素へ一般化できるか？
• RQ4 方向差分作用素 $\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{x}')$ は、非局所エネルギー空間におけるコンパクト性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}$ に対して弱い可積分性仮定が成り立つとき、非局所エネルギー空間 $\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$ における有界性が $L^p$ における前コンパクト性を意味するか？

主な発見

• 本稿は、$\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p} \notin L^1(B_1(0))$ であるならば、任意の有界な開集合 $D$ に対して、$\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$ 内の有界な列が $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ で前コンパクトであることを確立する。
• カーネル $\rho$ が回転対称でない場合でも、このコンパクト性基準は成り立つ。これは、従来の結果が回転対称カーネルに限られていたのを拡張する。
• キーパラメータである条件 (A.1) — $\int_{B_1(0)} \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p} d\mathbf{z} = \infty$ — は、非局所的リース＝フレシェ＝コルモゴロフ型コンパクト性が成り立つために必要かつ十分である。
• 証明では、$\Gamma^\delta = \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}\chi_{\complement B_\delta}$ からなる恒等近似カーネル $\mathbb{G}^\delta$ の列を構成し、それが必要な収束性を満たすことを示している。
• $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p}^p \leq C d^p / \|\Gamma^\delta\|_{L^1}$ の推定式により、$\delta \to 0$ のとき一様にゼロに収束することが保証され、これにより補題 A.2 の適用が可能になる。
• その結果、パラメータ依存非局所エネルギー汎関数 $W_\rho(\mathbf{u})$ の最小化子は、提示されたカーネル条件のもとで $L^p(D;\mathbb{R}^d)$ で強く収束し、変分的収束が確立される。