[論文レビュー] $L^p$ solution of backward stochastic differential equations driven by a marked point process

Fulvia Confortola|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界時間区間におけるマーク付き点過程によって駆動される後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）について、$p > 1$ の $L^p$ 解の存在および一意性を確立する。解は有限次元の常微分方程式系による近似可能であり、理論を応用して、$L^p$ 可積分性条件を満たす非マルコフ型点過程制御問題における最適制御の存在と値関数の表現を示す。

ABSTRACT

We obtain existence and uniqueness in L^p, p>1 of the solutions of a backward stochastic differential equations (BSDEs for short) driven by a marked point process, on a bounded interval. We show that the solution of the BSDE can be approximated by a finite system of deterministic differential equations. As application we address an optimal control problems for point processes of general non-Markovian type and show that BSDEs can be used to prove existence of an optimal control and to represent the value function.

研究の動機と目的

• マーク付き点過程によって駆動される BSDE の $L^p$-理論を $L^2$ フレームワークを超えて拡張すること。
• 生成子に $L^p$ 可積分性およびリプシッツ条件を課した下で、$p > 1$ の $L^p$ 空間における解の存在および一意性を確立すること。
• 有限ジャンプ過程を用いた近似スキームの構築と、誤差推定付きの収束の証明。
• 一般非マルコフ型点過程のための最適制御問題を解くために BSDE フレームワークを応用すること。
• 最適制御の存在を証明し、関連する BSDE 解を用いて値関数を表現すること。

提案手法

• 重み付き $L^p$ 空間における不動点法を用いて、BSDE の解の存在および一意性を証明する。
• ジャンプ時刻が完全に非可観測であると仮定した下で、マルティンゲール表現定理を適用する。
• 点過程を有限ジャンプに切り詰めて近似スキームを構築し、真の解への収束を証明する。
• 最後のジャンプ時刻の分布に依存する誤差推定を導出する。
• 追加の技術的仮定（A2）が成り立つ場合、近似された BSDE を有限次元の確定的常微分方程式系に還元できる。
• 一般非マルコフ型ダイナミクスを有する確率的最適制御問題において、BSDE 解を用いて値関数を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p > 1$ の場合に、マーク付き点過程によって駆動される BSDE に対して、$L^p$ 解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 このような BSDE の解は、有限次元の常微分方程式系によってどのように近似できるか？
• RQ3 BSDE フレームワークを用いて、非マルコフ型点過程制御問題における最適制御の存在を証明できるか？
• RQ4 解の存在に十分な $L^p$ 可積分性およびリプシッツ条件は何か？
• RQ5 一般非マルコフ型確率的制御問題における値関数は、関連する BSDE 解を用いてどのように表現できるか？

主な発見

• 最終条件 $\xi$ および生成子 $f$ に $L^p$ 可積分性を課し、$f$ に一様リプシッツ条件を課した下で、$p > 1$ に対して $L^p_\beta$ に一意な解が存在する。
• 解は、有限ジャンプ過程によって駆動される BSDE の列による近似が可能であり、誤差推定は最後のジャンプ時刻の分布に依存する。
• 仮定 A2 の下では、近似された BSDE は有限次元の確定的常微分方程式系に還元され、数値計算が可能になる。
• 最適制御問題における値関数は、$L^p$ 可積分性およびリプシッツ条件の下で、BSDE 解の初期値 $Y_0$ として表現される。
• 最適制御 $u^*$ は $\underline{u}^Z$ として与えられ、ここで $Z$ は BSDE 解の $Z$-成分であり、$Y_0 = \inf_{u \in \mathcal{A}} J(u)$ が成り立つ。
• 可測選択 $\underline{u}^Z$ の存在に十分な条件として、強度関数およびコスト関数のコンパクト性および連続性が提示される。