[論文レビュー] $L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions

Peter Lewintan, Patrizio Neff|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2020

Composite Material Mechanics参考文献 60被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3次元における非整合的テンソル場に対して $L^p$-トレースフリー一般化 Korn 不等式を確立し、テンソル場 $P$ の $L^p$ ノルムとそのカurlが、その対称部とカurlの偏り成分によって有界であることを証明する。主な結果は、$\|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p}$ と $\|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p}$ を含む鋭い推定であり、$W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ に属するテンソル場に対して有効であり、古典的 Korn 不等式を非整合的かつトレースフリーな設定に拡張し、弾性および塑性理論への応用を可能にする。

ABSTRACT

For $10$ such that \[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} ight) \] holds for all tensor fields $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$, i.e., for all $P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$ with vanishing tangential trace $ P imes ν=0 $ on $ \partialΩ$ where $ν$ denotes the outward unit normal vector field to $\partialΩ$ and $\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$ denotes the deviatoric (trace-free) part of $P$. We also show the norm equivalence \[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}+\|{\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} + \|{ \operatorname{dev}\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} ight) \] for tensor fields $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$. These estimates also hold true for tensor fields with vanishing tangential trace only on a relatively open (non-empty) subset $Γ\subseteq \partialΩ$ of the boundary.

研究の動機と目的

• 3次元における非整合的テンソル場に対して、古典的 Korn 型不等式をトレースフリーな制約を伴って拡張すること。
• 境界上で接線成分が消える条件を満たす $L^p$-空間におけるテンソル場に対して、 coercive 評価を確立すること。
• 不純度密度や勾配塑性理論のような非整合性を含む設定へ、トレースフリー Korn 不等式を一般化すること。
• $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p}$ と $\mathrm{sym}\,P$ および $\mathrm{Curl}\,P$ の偏り成分との間のノルム同値性を提供すること。
• 接線成分が境界の相対的開部分集合上で消えるというより弱い境界条件の下でも、結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 証明は、Lions の補題と Nédça の推定を用いて、$P$ の対称部とカurl成分による $L^p$-ノルムの制御に依存する。
• 著者らは、$P$ の2階微分を $\mathrm{sym}\,P$ と $\mathrm{Curl}\,P$ の1階微分の線形結合として表現し、偏り演算子の核の構造を活用する。
• 重要なステップとして、$\mathrm{dev\,sym}$ と $\mathrm{dev\,Curl}$ の核に属する任意の弱収束極限 $P^*$ が、与えられた境界条件のもとで必ず0に収束することを示し、核が自明であることを示し、したがって強制性が得られることを示す。
• 解析は、$P \times \nu = 0$ が $\partial\Omega$ 上で成り立つ $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ で行われ、接線成分が消えることを保証する。
• 接線成分が境界の相対的開部分集合 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 上でのみ消える場の拡張は、精密なトレース理論を用いて行われる。
• 結果は、コンパクト埋め込みと弱収束の議論を用いて得られ、対称部およびカurl成分の偏り成分（トレースフリー）の取り扱いに注意深く注意を払う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元における非整合的テンソル場に対して、一般化された $L^p$-トレースフリー Korn 不等式を確立できるか？
• RQ2 $P$ と $\mathrm{Curl}\,P$ の $L^p$-ノルムが、接線境界条件の下で $\mathrm{sym}\,P$ および $\mathrm{Curl}\,P$ の偏り成分を制御できるか？
• RQ3 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl})$ 境界条件のもとで、組み合わせ演算子 $\mathrm{dev\,sym}$ と $\mathrm{dev\,Curl}$ の核が自明であるか？ これにより強制性が保証されるか？
• RQ4 不等式は、境界の部分集合でのみ接線成分が消えるテンソル場へ拡張可能か？
• RQ5 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p} \lesssim \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p}$ のノルム同値性が $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl})$ で成り立つか？

主な発見

• すべての $P \in W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ に対して $1 < p < \infty$ が成り立ち、ある $c > 0$ が存在して $\|P\|_{L^p(\Omega)} \leq c \left( \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p(\Omega)} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p(\Omega)} \right)$ が成り立つ。これはトレースフリーな設定における強制性を証明する。
• $P \in W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ に対して、ノルム同値性 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p} \leq c \left( \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p} \right)$ が確立され、$P$ 及びそのカurlの完全な制御が示される。
• 結果は、境界の相対的開で空でない部分集合 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 上でのみ接線成分が消えるテンソル場へ拡張可能であり、適用範囲が広がる。
• $P = Du$ の場合、不等式は接線成分がトレースフリーな Korn 不等式に簡略化される：$\|Du\|_{L^p} \leq c \|\mathrm{dev\,sym}\,Du\|_{L^p}$ であり、$u \in W^{1,p}(\Omega, \mathbb{R}^3)$ かつ $Du \times \nu = 0$ が $\partial\Omega$ 上で成り立つ場合に有効。
• 歪対称な $P = \mathrm{Anti}(a)$ の場合、結果は Poincaré 型不等式を導く：$\|a\|_{L^p} \leq c \|\mathrm{dev\,Da}\|_{L^p}$ であり、$a \in W^{1,p}_0(\Omega, \mathbb{R}^3)$ の場合に有効。
• $\mathrm{Curl}\,P$ が $L^1$ に属する場合でも不等式は成立するため、より正則性が低い場への拡張が可能である可能性を示唆するが、極限ケース $p=1$ については未解決のままである。