[論文レビュー] On the optimal constants in Korn's and geometric rigidity estimates, in bounded and unbounded domains, under Neumann boundary conditions

Marta Lewicka, Stefan Müller|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、平面全体 ℝ² における幾何的剛性推定の最適定数を √2 として確立し、境界条件が接線型（ノイマン型）である有界領域において、Korn定数が √2 以上であることを証明している。等号が成り立つのは、最適変形が達成される場合に限る。本研究は線形および非線形弾性理論の推定を結びつけ、極値場の達成可能性と構造を特徴づけている。

ABSTRACT

We are concerned with the optimal constants: in the Korn inequality under tangential boundary conditions on bounded sets $Ω\subset \mathbb{R}^n$, and in the geometric rigidity estimate on the whole $\mathbb{R}^2$. We prove that the latter constant equals $\sqrt{2}$, and we discuss the relation of the former constants with the optimal Korn's constants under Dirichlet boundary conditions, and in the whole $\mathbb{R}^n$, which are well known to equal $\sqrt{2}$. We also discuss the attainability of these constants and the structure of deformations/displacement fields in the optimal sets.

研究の動機と目的

• 有界でリプシッツな領域 Ω ⊂ ℝⁿ における接線型（ノイマン型）境界条件下でのKorn不等式の最適定数を特定すること。
• ディリクレ設定からノイマン設定へと拡張し、全空間 ℝ² における幾何的剛性推定の最適定数を確立すること。
• 最適Korn定数が √2 に等しくなる条件と、それより大きい場合の条件を同定し、最小化場の構造を分析すること。
• Korn不等式および幾何的剛性推定における上界の達成可能性を調査し、極値場の空間を記述すること。
• 有界領域における最適定数の振る舞いを、ℝⁿ および全空間におけるそれらの類似定数と関連付けること。

提案手法

• 単位対称勾配と接線型境界条件を満たす場の上での上界を用いた最適定数の変分的特徴づけ。
• フーリエ解析とプランシュレの定理を用いて、ℝ² におけるベクトル場の回転なし系 (5.20) を解く。
• 勾配を対称部と反対称部に分解：∇u = (u)ᶜ + (u)ᵃ、ここで (u)ᶜ ∈ SO(2) かつ (u)ᵃ はトレースレス対称。
• 幾何的剛性推定を分析するため、∇u = R(α) + g と分解（R(α) ∈ SO(2), g ∈ L²(ℝ²)）。
• L²ノルムにおける回転成分と歪み成分を分離するための恒等式 ‖∇u − R‖² = ‖(∇u)ᶜ − R‖² + ‖(∇u)ᵃ‖² を用いる。
• フーリエ変換を用いて、f = (sin α, cos α − 1)ᵀ に対して ∂₁g₂ − ∂₂g₁ = ∂₁f₂ − ∂₂f₁ および ∂₁g₁ + ∂₂g₂ = ∂₁f₁ + ∂₂f₂ を満たす系を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件なしの全平面 ℝ² における幾何的剛性推定の最適定数は何か？
• RQ2 有界領域における接線型（ノイマン型）境界条件下でのKorn定数は、全空間の定数 √2 とどのように関係するか？
• RQ3 最適Korn定数が正確に √2 に等しくなる条件は何か。また、それより厳密に大きい場合の条件は？
• RQ4 Korn不等式における上界がいつ達成され、極値場の構造はどのようなものか？
• RQ5 ℝ² における最適定数 √2 は、ある R₀ ∈ SO(2) に対して ∇u − R₀ ∈ L²(ℝ²) を満たす場によって達成可能か？

主な発見

• ℝ² における幾何的剛性推定の最適定数は正確に √2 であり、この上限は鋭い。
• 任意の有界でリプシッツ的かつ連結な領域 Ω ⊂ ℝⁿ に対して、接線型境界条件下でのKorn定数 κ(Ω) は κ(Ω) ≥ √2 を満たす。
• 定数 κ(Ω) が √2 に等しいことは、∇uₖ → 0（弱収束）、‖D(uₖ)‖_{L²} = 1、かつ ‖∇uₖ‖_{L²} → √2 を満たす場 uₖ の列が存在することと同値である。
• κ(Ω) > √2 ならば、Korn不等式における上界は達成され、極値場の集合は W¹,²(Ω, ℝⁿ) の有限次元閉部分空間をなす。
• ℝ² において、最適定数 √2 は ∇u = R(α) + g と表される場によって達成され、ここで R(α) − R₀ ∈ L²(ℝ²) かつ g ∈ L²(ℝ²)、α ∈ L²(ℝ²) である。
• 極値場は ∇u = R(α) + g と表され、R(α) ∈ SO(2)、g ∈ L²(ℝ²) を満たし、∫|∇u − R₀|² = 2∫dist²(∇u, SO(2)) = 2∫(a² + b²) を満たす。ここで (a,b) は g の成分である。