[論文レビュー] Lévy insurance risk processes with parisian type severity of debt

Juan Carlos Pardo, José Luis Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、スペクトル的に負のLévy保険リスク過程における、破綻が負の純資産の逸脱がランダムにマークされた深刻度水準を超えた場合にのみ発生するという、新しい破綻定義を導入する。拡張理論とスケール関数を用いて、スケール関数と到着分布の観点から、Gerber–Shiuの期待割引ペナルティ関数の明示的表現を導出する。これは、破綻の持続時間ではなく、深さに基づく失敗基準へのパリジアン破綻概念の拡張を実現する。

ABSTRACT

In this article, we introduce a new definition of bankruptcy for a spectrally negative Lévy insurance risk process. More precisely, we study the Gerber-Shiu distribution for a ruin model where at each time the surplus goes negative, an independent negative random level is considered. If a negative excursion of the surplus exceeds such random level then the insurance company goes out of business. Our methodology uses excursion theory and relies on the description of the excursion measure away from 0 which was recently obtained by the authors in Pardo et al. (see arXiv:1507.05225). Our results are given in terms of the so-called scale functions.

研究の動機と目的

• スペクトル的に負のLévyリスク過程において、破綻が負の純資産の逸脱の深さに基づいて再定義されることを目的とする。
• 各負の逸脱に独立同分布の深刻度水準が割り当てられ、逸脱がその水準を超えた場合にのみ破綻が発生することを目的とする。
• フラクチュエーション理論と拡張測度を用いて、Gerber–Shiu関数をこの新しい破綻枠組みに拡張することを目的とする。
• スペクトル的に負のLévy過程におけるスケール関数と到着分布を用いて、Gerber–Shiu関数の明示的公式を提供することを目的とする。
• 有界変動と無限変動の両方の経路を扱い、特に最近の拡張測度に関する結果を用いて無限変動ケースに特に注意を払うことを目的とする。

提案手法

• 負の純資産の逸脱をゼロから離れる過程としてモデル化するため、拡張理論を用い、[23]で提示された新しい到着分布の記述を活用する。
• 強マルコフ性と逸脱の独立性を応用し、最初のゼロ未満到達時の経路行動に基づいてGerber–Shiu関数をケースに分けて分解する。
• 指数的キリングと吸収が存在する状況における初到達および初到達分布を表すために、スケール関数 $W^{(q)}$ と $\mathcal{W}^{(q)}$ を用いる。
• Lévy測度 $\Pi$、スケール関数、および到着分布 $\mathcal{W}^{(q)}(b,x,y)$ を含む積分表現を用いて、Gerber–Shiu関数を導出する。
• 有界変動ケースは有限の逸脱を、無限変動ケースは無限の逸脱を用いて取り扱い、無限個の逸脱を扱うために到着分布を用いる。
• 遅延された破綻認識をモデル化するため、記憶のない指数分布時計 $\mathbf{e}_\lambda$ を導入し、Gerber–Shiu関数に再帰的構造を生じさせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的に負のLévyリスク過程において、破綻が負の逸脱の深さに基づいて形式化できるか。破綻は、負の逸脱がランダムな深刻度水準を超えた場合にのみ発生する。
• RQ2 この新しい破綻ルール下でのGerber–Shiu関数の構造はどのようなものか。古典的またはパリジアン破綻モデルと比べてどのように異なるか。
• RQ3 拡張理論とスケール関数を用いて、無限変動ケースにおけるGerber–Shiu関数の明示的表現を導出できるか。
• RQ4 このモデルにおいて、拡張測度の到着分布が、初到達時刻とオーバーシュートの分布を特徴付ける役割を果たすか。
• RQ5 遅延された破綻認識のための指数時計の導入が、Gerber–Shiu関数の再帰的構造に与える影響は何か。

主な発見

• Gerber–Shiu関数 $\phi_f(x,q,b)$ は、最初のゼロ未満到達時の経路行動に応じた5つの積分項の和として表現される。
• 最初の項は、ジャンプによる負の領域への到達が深刻度水準を超えた場合の即時破綿を捉え、$\int_0^b \int_{(-\infty,-(y+Y))} f(y,y+u) \mathcal{W}^{(q)}(b,x,y) \Pi(du) dy$ として表される。
• 3番目の項 $\mathcal{I}_f(x,q,b)$ は、プロセスがゼロに戻る前に $-Y$ に到達する場合をモデル化し、$\mathcal{W}^{(q)}$ と $W^{(q)}$ 関数を含む4重積分で与えられる。
• 2番目と4番目の項は指数時計 $\mathbf{e}_\lambda$ に起因し、それぞれ $f(0,0) \cdot \frac{\sigma^2}{2}(\mathcal{O}^{(q)}(b,x) - \mathcal{O}^{(q+\lambda)}(b,x))$ および $\phi_f(0,q,b) \cdot \frac{\sigma^2}{2} \mathcal{O}^{(q+\lambda)}(b,x)$ として寄与する。
• 5番目の項は、$-Y$ に到達せずにゼロに戻る経路をモデル化し、$\mathbb{E}\left[\int_0^b \int_{(-y-Y,-y)} \frac{W^{(q)}(y+u+Y)}{W^{(q)}(Y)} \mathcal{W}^{(q)}(b,x,y) \Pi(du) dy\right] \cdot \phi_f(0,q,b)$ として与えられる。
• 完全な $\phi_f(x,q,b)$ の式は、これらの項の線形結合であり、関数 $\phi_f(0,q,b)$ が再帰的に現れる。これは指数時計の記憶のなさに起因する。