[論文レビュー] l2-Betti numbers of discrete and non-discrete groups

Roman Sauer|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本調査は、Lückの次元関数とPetersenの定義を用いて、古典的不変量を一般化する、離散的および非離散的局所コンパクト群におけるℓ²ベッチ数の理論を確立する。局所コンパクト群における格子に対して比例の法則を証明し、SL₃(ℚₚ)のようなp進群における非自明なℓ²ベッチ数を計算することで、それらが格子の欠損度を上から拘束することを示す。

ABSTRACT

This survey is an extended version of a talk during the Arbeitsgemeinschaft on totally disconnected locally compact groups, held in Oberwolfach in October 2014. We explain the definition of l2-Betti numbers of locally compact groups -- both discrete and non-discrete. Specific topics include proportionality principle, dimension function, Petersen's definition for locally compact groups, examples.

研究の動機と目的

• 離散群に限らない一般の局所コンパクト群へのℓ²ベッチ数の理論の拡張。
• 局所コンパクト群における格子の文脈で、ℓ²ベッチ数の比例の法則を確立すること。
• 幾何的モデルと群フォン・ノイマン代数を用いて、SL₃(ℚₚ)のようなp進リー群におけるℓ²ベッチ数を計算すること。
• ℓ²ベッチ数と欠損度やオイラー特性などの群不変量との関係を明らかにすること。
• ℓ²ベッチ数の消滅が、比例性に欠けるにもかかわらず、擬等長写像の不変量であることを示すこと。

提案手法

• Petersenの定義に従い、フォン・ノイマン代数とその半有限トレースを用いて、単位的局所コンパクト群におけるℓ²ベッチ数を定義する。
• Lückの次元関数を適用し、フォン・ノイマン代数上のコホロジー群の次元としてℓ²ベッチ数を計算する。
• p進群のための幾何的モデル（例えば、Bruhat-Titsのビルディング）を用い、等長的セル数の計算によりℓ²ベッチ数を求める。
• 比例の法則を活用する：格子Γ < Gに対してβₚ(Γ) = μ(Γ\G) ⋅ βₚ(G,μ)。
• オイラー＝ポワンカレの公式を用い、ℓ²ベッチ数を群の提示および欠損度と関連付ける。
• アメニタリック・ラディカルを商することで一般の場合を完全不連結群に還元し、半単純および完全不連結因子との積分解釈を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ²ベッチ数は、離散群から非離散的局所コンパクト群へどのように一般化できるか？
• RQ2 有限指数部分群に対するℓ²ベッチ数の比例の法則は、局所コンパクト群における格子へと拡張可能か？
• RQ3 SL₃(ℚₚ)のようなp進リー群に対して、ℓ²ベッチ数を明示的に計算できるか？
• RQ4 ℓ²ベッチ数と群の有限提示における欠損度の関係は何か？
• RQ5 比例性に欠けるにもかかわらず、ℓ²ベッチ数の消滅は擬等長写像のもとで保存されるか？

主な発見

• G = SL₃(ℚₚ)に対して、μ(B) = 1のときβ₂(G,μ) ≥ 1 − 3/(p+1) > 0であり、2次元で非自明なℓ²ベッチ数を示す。
• G = SL₃(ℚₚ)の格子Γに対して、比例の法則によりβ₂(Γ) ≥ (1 − 3/(p+1)) ⋅ μ(Γ\G)が得られる。
• 欠損度は、オイラー＝ポワンカレの公式から、1 − (1 − 3/(p+1)) ⋅ μ(Γ\G)によって上から拘束される。
• Gのアメニタリック・ラディカルKが非コンパクトであれば、すべてのp ≥ 0に対してβₚ(G,μ) = 0であり、これはCheeger-Gromovの結果を一般化する。
• アメニタリック・ラディカルがコンパクトであれば、βₚ(G,μ) = βₚ(G/K,ν)が成り立ち、アメニタリック・ラディカルが自明な群への還元が可能になる。
• G = H × DでHが半単純でDが完全不連結であるとき、βₚ(D,μ)が既知であれば、Künnethの公式を用いてβₚ(G,μ)を計算できる。