[論文レビュー] Lack of compactness in the 2D critical Sobolev embedding, the general case

Bahouri, Hajer, Mohamed Majdoub+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$H^1(\mathbb{R}^2)$ からオルリーツ空間 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ への臨界的2次元ソボレフ埋め込みにおけるコンパクト性の欠如を、質量の点（コア）への集中によって生じるものとして分析する。容量論的アプローチと背理法に基づく抽出プロセスを用いて、モーザー型の例に基づくプロファイル分解を構成し、コンパクト性の欠如が、径対称性がなくても、このような例によって完全に捉えられることを示している。

ABSTRACT

This paper is devoted to the description of the lack of compactness of the Sobolev embedding of $H^1(\\R^2)$ in the critical Orlicz space ${\\cL}(\\R^2)$. It turns out that up to cores our result is expressed in terms of the concentration-type examples derived by J. Moser in \\cite{M} as in the radial setting investigated in \\cite{BMM}. However, the analysis we used in this work is strikingly different from the one conducted in the radial case which is based on an $L^ \\infty$ estimate far away from the origin and which is no longer valid in the general framework. Within the general framework of $H^1(\\R^2)$, the strategy we adopted to build the profile decomposition in terms of examples by Moser concentrated around cores is based on capacity arguments and relies on an extraction process of mass concentrations. The essential ingredient to extract cores consists in proving by contradiction that if the mass responsible for the lack of compactness of the Sobolev embedding in the Orlicz space is scattered, then the energy used would exceed that of the starting sequence.

研究の動機と目的

• 臨界的ソボレフ埋め込み $H^1(\mathbb{R}^2) \hookrightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ におけるコンパクト性の欠如を特徴付けること、ここで $\mathcal{L}$ は $\phi(s) = e^{s^2} - 1$ によって定義されるオルリーツ空間である。
• 従来の径対称列に関する結果を、$L^\infty$ 評価が成立しない一般の非径対称の場合に拡張すること。
• 有界な $H^1(\mathbb{R}^2)$ 列のためのプロファイル分解を構築し、コンパクト性の欠如に起因する集中現象を捉えること。
• 質量の集中が生じる唯一の可能なプロファイルが、モーザーの極値関数から導かれるものであることを、容量論的およびエネルギー比較の議論により証明すること。

提案手法

• 質量の集中を分析するため、特に領域 $\Omega$ 内の集合 $A$ の容量 $\mathrm{Cap}_\Omega(A)$ を用いた容量論を用いる。
• シュワルツの対称化を用いて一般の関数を径対称関数に還元し、エネルギーを保存するとともに、既知の極値関数との比較を可能にする。
• 背理法を用いる：質量が局在化されていない（散逸している）と仮定すると、元の列のエネルギーを上回ることになる。
• エネルギー集中に基づくスケール抽出プロセスを用いて、コアとプロファイルの反復的抽出を通じてプロファイル分解を構成する。
• エネルギー分解と容量推定を用いてプロファイルの直交性を証明し、集中領域に重複がないことを保証する。
• 鋭いトゥリディンガー＝モーザー不等式とモーザーの例を、最小エネルギー構成の基準として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径対称性が欠如する状況下で、$H^1(\mathbb{R}^2) \hookrightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ における臨界的ソボレフ埋め込みのコンパクト性の欠如は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 有界な $H^1$ 列のプロファイル分解は、モーザー型の例のみを構成要素として用いて構築可能か？
• RQ3 容量論を用いて、径対称性の仮定を避けながら、一般の $H^1$ 列における集中コアを抽出するにはどうすればよいか？
• RQ4 エネルギー比較が、質量が分散しているとエネルギーが元の列を上回ることを証明する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ5 一般の場合の集中プロファイルは、径対称設定におけるモーザーが導いたものとどの程度一致するか？

主な発見

• 臨界的2次元ソボレフ埋め込み $H^1(\mathbb{R}^2) \hookrightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ におけるコンパクト性の欠如は、すべて点での質量集中に起因し、モーザー型プロファイルによってモデル化される。
• 任意の有界な $H^1(\mathbb{R}^2)$ 列に対して、モーザーの極値関数のスケーリングおよび平行移動版である直交するプロファイルに分解可能なプロファイル分解が存在する。
• 測度 $|E_1|$ の集合上で $\sqrt{\alpha/(2\pi)}$ 以上、より大きな集合 $E_2$ 上で $a_2$ 以上の下限を持つ関数 $u$ に対して、$\|\nabla u\|_{L^2}^2 \geq 4\pi(a_1 - a_2)^2 / \log(|B|/|E_1|)$ が成り立ち、これは容量に基づくエネルギーの下界を与える。
• 与えられた値を球上で達成するために必要な最小エネルギーは、球の外部で調和的で内部で定数である径対称関数 $u^*$ によって達成され、モーザーの例の最適性が裏付けられる。
• $\mathbb{R}^2$ 内の $B(b)$ に含まれる球 $B(a)$ の容量は $\mathrm{Cap}_{B(b)}(B(a)) = 2\pi / \log(b/a)$ に等しく、エネルギーの下界推定において重要な道具である。
• 背理法により、質量が単一のコアに集中していない場合、エネルギーは元の列のエネルギーを上回ることを示し、コンパクト性の欠如に伴う集中が必要不可欠であることを証明する。