[論文レビュー] Lagrangian and Noncommutativity

Ignacio Cortese, J. Antonio Garcı́a|ArXiv.org|May 7, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換な配置空間変数を有する1階系系において、補助変数とダーブォー変換を用いて2階ラグランジアンを構成する逆問題に取り組む。形式的な非局所ラグランジアンを導出し、射影された2階力学を再現する。非可換調和振動子に対しては、同等の局所的2階ラグランジアンを構築し、対称性と境界条件の一致により一貫性を示す。

ABSTRACT

We analyze the relation between the concept of auxiliary variables and the Inverse problem of the calculus of variations to construct a Lagrangian from a given set of equations of motion. The problem of the construction of a consistent second order dynamics from a given first order dynamics is investigated. At the level of equations of motion we find that this reduction process is consistent provided that the mapping of the boundary data be taken properly into account. At the level of the variational principle we analyze the obstructions to construct a second order Lagrangian from a first order one and give an explicit formal non-local Lagrangian that reproduce the second order projected dynamics. Finally we apply our ideas to the so called ``Noncommutative classical dynamics''.

研究の動機と目的

• 非可換な配置空間座標を有する1階系系から2階ラグランジアンを構成する逆問題を解くこと。
• 運動方程式と変分原理のレベルで、1階力学を2階力学に還元することが一貫しているかを検討すること。
• 非可換系において運動量が補助変数でない場合に、局所的2階ラグランジアンを構成する際の障害を扱うこと。
• 一般の非可換系に対して、射影された2階力学を再現する形式的な非局所ラグランジアンを導出すること。
• ダーブォー変換と補助変数技術を用いて、非可換調和振動子に対して同等の局所的2階ラグランジアンを構築すること。

提案手法

• 与えられた1階運動方程式がラグランジアンから生じるための条件を特定するため、変分法の逆問題を適用する。
• 1階系において補助変数を特定し、それらの消去により配置空間内の2階方程式を導出する。
• ダーブォー変換を用いて非可換な運動量を補助変数に写像し、直接的に2階ラグランジアンを構築可能にする。
• 境界条件が適切に扱われている場合に有効である形式的な非局所ラグランジアンを導出し、2階運動方程式を再現する。
• 非可換調和振動子にこの手法を適用し、変数変換によって運動量を補助変数にし、それらを消去することで閉形式の2階ラグランジアンを導出する。
• 対称性と明示的な解の一致により、導出された2階運動方程式が元の系と等価であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量が補助変数でない非可換な1階系の力学から、一貫性のある2階ラグランジアンを構成できるか？
• RQ2 非可換な配置空間座標を有する1階系から局所的2階ラグランジアンを構成する際の障害は何か？
• RQ3 形式的な非局所ラグランジアンをどのように導出すれば、その運動方程式が射影された2階力学を再現するか？
• RQ4 ダーブォー変換を用いて非可換系において運動量を補助変数にできるか？これにより2階ラグランジアンの構成が可能になるか？
• RQ5 適切な境界条件を適用した場合、還元によって得られる2階力学は元の1階力学と等価か？

主な発見

• 境界条件が適切に扱われている場合、運動方程式のレベルで1階力学を2階力学に還元することが一貫しており、元の系と還元系の解が一致することで示された。
• 形式的な非局所ラグランジアンが構築され、2階の射影力学を再現する。このラグランジアンの運動方程式は元の1階系と等価である。
• 非可換調和振動子に対して、運動量を補助変数に写像するダーブォー変換を用いて、局所的2階ラグランジアンを明示的に導出した。
• 得られた2階ラグランジアンは、元の2階系と比例する運動方程式を導出し、対称性による確認により等価性が裏付けられた。
• 非可換調和振動子の解は境界条件に依存し、パラメータθに依存する非自明な非可換依存性を示した。
• 式(88)のダーブォー変換が運動方程式の対称性であることが示され、元の系と変換後の2階系が等価であることが検証された。