[論文レビュー] Lagrangian Cobordism I

Paul Biran, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック位相幾何学における単調ラグラングianコボルディズムのカテゴリカル枠組みを導入し、フロアホモロジーがコボルディズムのもとで保存されることを示し、ラグラングianコボルディズム圏から三角的 Fukaya 圏への関手を構成する。主な貢献は、コボルディズムの射とフロア理論的不変量との間の関手的関係であり、幾何的コボルディズムとシンプレクティック位相幾何学における代数的構造の橋渡しを確立する。

ABSTRACT

This paper discusses the cobordism of Lagrangian submanifolds (in the monotone setting) and structures it as a category that is related in a functorial way to an appropriate (derived) Fukaya category. Are also discussed obstructions to cobordism based on properties of Lagrangian quantum homology, relations to Lagrangian surgery, as well as examples of non-isotopic but cobordant Lagrangians. This is a revision of our earlier preprint from September 2011.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体における単調ラグラングianコボルディズムのカテゴリカル構造を構築すること。
• フロアホモロジーおよび関連不変量が単調ラグラングianコボルディズムのもとで保存されることを示すこと。
• ラグラングianコボルディズム圏から三角的 Fukaya 圏への関手を構成すること。
• 量子ホモロジーおよびフロアホモロジー不変量を用いてコボルディズムの存在に対する代数的障害を特定すること。
• コボルディズムをFukaya圏構造の関手的拡張として理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 均一な単調性および $N_L \geq 2$ のマスロフ指数制約を用いて単調ラグラングian部分多様体を定義する。
• ラグラングianコボルディズムを、$\mathbb{R}^2 \times M$ に埋め込まれた滑らかでコンパクトなコボルディズムとして定義し、その円筒的端がラグラングian族と一致するようにする。
• 導来 Fukaya 圏 $D\mathcal{F}uk^d(M)$ の全部分圏から、コーン分解を用いて三角的圏 $T^S\mathcal{C}$ を構成する。
• フロア複体におけるチェーン写像の系列およびコーン構成を用いて、コボルディズム圏 $\mathcal{Cob}^d_0(M)$ の射を定義する。
• チェーン複体における Yoneda埋め込みおよびコーン構成を用いて、Fukaya 圏の三角的完備化を構築する。
• チェーンホモトピー同値がフロア複体間で実現されるように、$\mathcal{Cob}^d_0(M)$ から $T^S\mathcal{F}uk^d(M)$ へのモノイダル関手 $\widetilde{\mathcal{F}}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグラングianコボルディズムは、関手的性質を持つ圏としてどのように構造化できるか？
• RQ2 単調ラグラングianコボルディズムのもとで保存される不変量は何か？
• RQ3 ラグラングianコボルディズム圏と三角的 Fukaya 圏との間に関手的関係を確立できるか？
• RQ4 コボルディズムの文脈において、量子ホモロジーおよびフロアホモロジー不変量から生じる代数的障害は何か？
• RQ5 底層 $K = \mathbb{Z}_2$ の選択が、構成の関手性および独立性にどのように影響するか？

主な発見

• 単調ラグラングianコボルディズムは、定理 2.2.1 によりフロアホモロジーおよび関連不変量を保存する。
• フロア複体のコーン分解を通じて、コボルディズム圏から三角的 Fukaya 圏への関手 $\widetilde{\mathcal{F}}$ の存在が確立される。
• 構成は、Yoneda埋め込みおよびチェーン複体におけるコーン作用を用いたFukaya圏の三角的完備化に依存する。
• 主要な結果は、コボルディズム圏の射が、$Z_{i+1}^N = \textnormal{cone}(CF(N,L_i) \xrightarrow{u_i} Z_i^N)$ を満たすチェーン複体の完全系列 $Z_i^N$ を誘導することであり、これによりチェーンホモトピー同値 $\phi_V^N: CF(N,L) \to Z_{k+1}^N$ が得られる。
• $\mathbb{Z}_2$ を底層として用いることで、写像 $u_i$ および $\phi_V^N$ が追加の選択に依存せず、一意的であることが保証される。これは $\mathcal{A}$ 上では成り立たない。
• 定理 2.2.2 および 2.2.3 は、量子ホモロジーおよびフロアホモロジー不変量を用いて、コボルディズム射の存在に対する代数的障害が生じることを示している。