[論文レビュー] Lagrangian dynamics of the Navier-Stokes equation

Albertus Sulaiman, L. T. Handoko|ArXiv.org|Aug 15, 2005

Geotechnical and Geomechanical Engineering参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ゲージ場に類似した流体場を用いて、ゲージ不変なラグランジュ形式によるナビエ＝ストークス方程式の定式化を提案する。ポテンシャル $τ}_\mu = (\Phi, -\vec{v})$ を用い、オイラー＝ラグランジュ方程式により流体力学を再構成する。主な結果として、ソリトンと流体媒質との相互作用は非線形クライン＝ゴルドン方程式で記述され、流体の流れに伴い減衰するソリトン解が得られ、これは量子電磁力学およびギンツブルグ＝ランダウ理論に類似している。

ABSTRACT

Most researches on fluid dynamics are mostly dedicated to obtain the solutions of Navier-Stokes equation which governs fluid flow with particular boundary conditions and approximations. We propose an alternative approach to deal with fluid dynamics using the lagrangian. We attempt to develop a gauge invariant lagrangian which reconstructs the Navier-Stokes equation through the Euler-Lagrange equation. The lagrangian consists of gauge boson field $\A_μ$ with appropriate content describing the fluid dynamics, i.e. $\A_μ= (Φ, -\uv)$. An example of applying the lagrangian to the interaction of fluid in a solitonic medium is also given.

研究の動機と目的

• 流体力学のゲージ不変ラグランジュ形式を構築し、オイラー＝ラグランジュ形式によるナビエ＝ストークス方程式の再構成を目的とする。
• 理想不圧縮流体に対してマクスウェルに類似した方程式を導出することにより、流体力学と電磁気学との場の理論的類似性を確立する。
• 静的条件下で、量子電磁力学およびギンツブルグ＝ランダウ理論に類似したラグランジュを用いて、ソリトン＝流体の相互作用をモデル化する。
• 可変係数非線形クライン＝ゴルドン方程式を導出し、移動する流体媒質内でのソリトン伝播を解く。

提案手法

• 流体場をゲージ場 $\mathcal{A}_\mu = (\Phi, -\vec{v})$ として定義し、$\Phi = \frac{1}{2}\vec{v}^2 + \frac{P}{\rho}$ を用いて、アーベルゲージ理論に類似したラグランジュを構築する。
• 渦度とランブのベクトルを用いたナビエ＝ストークス方程式に対して発散および回転作用を施すことにより、理想不圧縮流体に対するマクスウェルに類似した方程式を導出する。
• ソリトン＝流体相互作用を記述するゲージ不変ラグランジュ密度 $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}\mathcal{F}_{\mu\nu}\mathcal{F}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}(\mathcal{D}_\mu\phi)(\mathcal{D}^\mu\phi) + \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4$ を構築する。
• ラグランジュにオイラー＝ラグランジュ方程式を適用し、1次元における可変係数非線形クライン＝ゴルドン方程式 $\frac{d^2\phi}{dx^2} - \gamma(x)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0$ を導出する。
• 積分のテクニックを適用する：$d\phi/dx$ を乗じ、積分し、境界条件 $\lim_{x\to\pm\infty}\phi = 0$ を適用してソリトン解を得る。
• 正確なソリトン解 $\phi(x) = A \text{sech}(\Lambda x)$ を得る。ここで $A = \frac{12\gamma}{\lambda}$、$\Lambda = \frac{12\sqrt{3}\gamma}{\lambda^{3/2}}$ であり、流体の流れに起因する減衰が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式は、流体場をゲージポテンシャルの類似物として用いることで、ゲージ不変ラグランジュ形式から導出可能か？
• RQ2 ベクトル解析の恒等式を用いて、ナビエ＝ストークス方程式から理想流体に対するマクスウェルに類似した方程式がどのように導かれるか？
• RQ3 ソリトン＝流体相互作用を記述するラグランジュの形は何か？また、これは量子場理論とどのように関係しているか？
• RQ4 流体の流れはソリトン伝播にどのように影響を与えるか？これは可変係数非線形クライン＝ゴルドン方程式でモデル化可能か？
• RQ5 流体媒質内でのソリトン解の解析的形は何か？また、その減衰挙動はどのようにして確認されるか？

主な発見

• ナビエ＝ストークス方程式は、$\mathcal{A}_\mu = (\Phi, -\vec{v})$ および $\Phi = \frac{1}{2}\vec{v}^2 + \frac{P}{\rho}$ を用いて、ゲージ不変ラグランジュ形式から運動方程式として正確に再構成された。
• ソリトン＝流体相互作用のラグランジュは、ボソンに対する量子電磁力学と形式的に同一であり、ゲージ共変微分 $\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu - ig\mathcal{A}_\mu$ を含む。
• 静的極限において、ラグランジュはギンツブルグ＝ランダウ形式に簡略化され、超伝導体理論との関連が示された。
• 一定速度 $U$ を有する1次元流れにおいて、非線形クライン＝ゴルドン方程式が得られ、その解は $\phi(x) = A \text{sech}(\Lambda x)$ となる。ここで $A = \frac{12\gamma}{\lambda}$、$\Lambda = \frac{12\sqrt{3}\gamma}{\lambda^{3/2}}$ である。
• ソリトン解は指数関数的減衰を示し、流体の流れに起因する孤立波伝播の減衰が確認された。減衰の強度は流体の速度および結合パラメータに依存する。
• 可積分性条件 $\lim_{x\to\pm\infty}\phi = 0$ により、積分定数がゼロに設定され、局在的ソリトンプロファイルが保証された。