[論文レビュー] Lagrangian Floer homology of the Clifford torus and real projective space in odd dimensions

Garrett Alston|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数次元複素射影空間内のクリフォードトーラスと実射影空間のラグランジュフローリアンホモロジーを $\mathbb{Z}_2$ 係数で計算し、$HF(\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}, T^{2n-1}; \mathbb{Z}_2) = (\mathbb{Z}_2)^{2^n}$ を証明する。この結果は、これらのラグランジュ部分多様体がハミルトニアン同倫で分離できないこと、および少なくとも $2^n$ 個の交点を持つことを示し、交点数の下界を提供するとともに、シンプレクティック幾何における体積最小性予想を支持する。

ABSTRACT

The Floer homology of (RP^n,T^n) is calculated, for n odd.

研究の動機と目的

• クリフォードトーラス $T^{2n-1}$ と実射影空間 $\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}$ の間の最小交点数がハミルトニアン同倫下でどのように決まるかを特定すること。
• 奇数次元におけるラグランジュフローリアンホモロジー $HF(\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}, T^{2n-1}; \mathbb{Z}_2)$ を計算すること。
• このホモロジー計算が、そのハミルトニアン変形類内におけるクリフォードトーラスの体積最小性予想に与える影響を調査すること。
• フローリアンホモロジー計算をノビコフ環 $\Lambda_{\mathbb{Z}_2}$ における係数に拡張し、ハミルトニアン同倫下での不変性を検証すること。

提案手法

• 交点 $\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}$ と $T^{2n-1}$ の横断的交点から生成される $\mathbb{Z}_2$ 上のフローリアンチェーン複体 $CF(L_0, L_1)$ を構成し、その数は $2^{2n}$ 個である。
• 交点を結ぶ孤立した $J$-擬正則ストリップ（フローリアン軌道）の $\mathrm{mod}\,2$ 数を用いて境界作用素 $\partial$ を定義する。
• 線形化された $\bar{\partial}_J$-作用素のインデックスがマスロフ指数 $\mu(u)$ に等しいことを証明し、擬正則ストリップのモジュライ空間が適切に定義されることを保証する。
• スペクトルフローと擬正則ストリップ上の $\mathbb{R}$-作用を用いて商モジュライ空間 $\mathcal{M}_J(L_0, L_1)$ を定義し、孤立した 0 次元成分による境界作用素の計算を行う。
• 正則性の $J$ と横断性の条件により、トポロジー的条件下で $\partial^2 = 0$ が成り立つことを検証し、フローリアンホモロジーが適切に定義されることを保証する。
• 境界作用素の可逆行列変換を用いて、$\Lambda_{\mathbb{Z}_2}$ におけるホモロジーが $(\Lambda_{\mathbb{Z}_2})^{2^n}$ に同型であることを示し、$\Lambda_{\mathbb{Z}_2}$ 係数への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン同倫下で、クリフォードトーラス $T^{2n-1}$ と実射影空間 $\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}$ の間の最小交点数は何か？
• RQ2 ラグランジュフローリアンホモロジー $HF(\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}, T^{2n-1}; \mathbb{Z}_2)$ は非自明か？ その構造は奇数次元でどのようになるか？
• RQ3 フローリアンホモロジー計算をノビコフ環 $\Lambda_{\mathbb{Z}_2}$ における係数に拡張できるか？ また、ホモロジー構造は保持されるか？
• RQ4 非自明なフローリアンホモロジーは、$\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}$ と $T^{2n-1}$ がハミルトニアン同倫で分離できないことを示唆するか？
• RQ5 ラグランジュクロフトン公式を用いて、交点数の下界 $2^n$ からどのような体積最小性に関する帰結が得られるか？

主な発見

• フローリアンホモロジー $HF(\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}, T^{2n-1}; \mathbb{Z}_2)$ は、交点間の擬正則ストリップの $\mathrm{mod}\,2$ 数を用いて計算され、$(\mathbb{Z}_2)^{2^n}$ に同型である。
• 非自明なホモロジーは、$\nolink{\mathbb{R}P^{2n-1}}$ と $T^{2n-1}$ がハミルトニアン同倫で分離できないこと、および少なくとも $2^n$ 個の交点を持つことを示唆する。
• ディスクバブリングの寄与が相殺されることにより、偶数次元では適切に定義されないため、この計算は奇数次元でのみ有効である。
• $\Lambda_{\mathbb{Z}_2}$ におけるホモロジーは $(\Lambda_{\mathbb{Z}_2})^{2^n}$ に同型であり、ハミルトニアン同倫下での不変性が確認され、より広い係数系への結果の拡張が得られた。
• ラグランジュクロフトン公式を用いることで、$\frac{\mathrm{vol}(\phi(T^{2n-1}))}{\mathrm{vol}(\mathbb{R}P^{2n-1})} \geq \frac{2^n}{2n}$ が得られ、ハミルトニアン変形における体積成長の下界が得られる。
• $n=1$ および $n=2$ の場合、$T^1$ と $T^3$ の体積比はそれぞれ $1$ および約 $1.57$ であるが、この下界は $T^{2n-1}$ のグローバル体積最小性予想を解消しない。