[論文レビュー] Lagrangian Non-Intersections

Paul Biran|ArXiv.org|Dec 6, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間およびシンプレクティック多様体との積におけるラグランジュ部分多様体のホモロジー的剛性に関する結果を確立する。フロアホモロジーとスペクトル系列を用いて、$ℚ\mathbb{C}P^n$ 内のラグランジュ部分多様体で $H_1(L;\mathbb{Z})$ が 2- torsion を持つものについて、そのコホモロジーが $ℚ\mathbb{R}P^n$ のそれと同型であることを証明し、スペクトル不変量とチェーン複体のフィルトレーションを通じて、単調ラグランジュ部分多様体の位相的制約を提示する。

ABSTRACT

In this paper we use Floer theory to study topological restrictions on Lagrangian embeddings in closed symplectic manifolds. One of the phenomena arising from our results is ``homological rigidity'' of Lagrangian submanifolds. Namely, in certain symplectic manifolds, conditions on low dimensional topological invariants of a Lagrangian (such as its first homology) completely determine its entire homology. We also develop methods for studying Hamiltonian displacement of Lagrangian submanifolds and its relations to the topology of Lagrangians. Finally we present some new results on Lagrangian intersections.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体の位相的制約を理解すること、特に $H_1(L;\mathbb{Z})$ が 2- torsion を持つ場合に注目する。
• $ℚ\mathbb{C}P^n$ および $\mathbb{C}P^n \times X$ 内のラグランジュ部分多様体に対してホモロジー的一意性定理を確立し、 torsion ホモロジーによってコホモロジーが完全に決定されることを示す。
• シンプレクティック不変性を介して交差を強制する「ラグランジュコア」$\Lambda \subset M$ を同定することにより、グローバルな交差現象を調査する。
• 単調ラグランジュ部分多様体におけるフロアホモロジーとチェーン複体のフィルトレーションに関して、スペクトル系列に基づく不等式を導出する。

提案手法

• 単調ラグランジュ部分多様体の位相を解析するために、フロアホモロジー $HF(L,L)$ とスペクトル系列を用いる。
• $E_1^{p,q} \cong H^{p+q \mod N_L}(L; \mathbb{Z}_2)$ を満たすスペクトル系列 $\{E_r^{p,q}, d_r\}$ を適用し、モース複体とフロア複体を関連付ける。
• $C^i = \bigoplus_k C_f^{i + kN_L}$ を通じたフィルトレーションを用いてモース複体を分解し、 $\partial_0, \dots, \partial_\nu$ の微分を定義する。
• 線形代数の補題を用いて、オイラー特性 $\chi_{s,t}(C)$ をコホモロジーおよび微分の像の次元に関連付ける。
• $HF(L,L) = 0$ の仮定を適用してスペクトル系列を $\bar{E}_{\nu+1} = 0$ で収束させ、次元推定を可能にする。
• $\min\{\kappa_{i-1}(f), \kappa_i(f)\}$ と $\gamma_i$ 不変量を用いて $\chi_{s,t}(L)$ の境界を導出し、 $\lambda_{s,t}(L)$ を含む不等式を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H_1(L;\mathbb{Z})$ が 2- torsion を持つラグランジュ部分多様体 $L \subset \mathbb{C}P^n$ に対してどのような位相的制約が生じるか？
• RQ2 そのようなラグランジュ部分多様体のコホモロジーリングは完全に決定可能であり、 $\mathbb{R}P^n$ のそれと一致するか？
• RQ3 シンプレクティック多様体におけるグローバルな交差を強制する役割を果たすラグランジュコア $\Lambda \subset M$ の役割は何か？
• RQ4 スペクトル系列とフロアホモロジーは、 $HF(L,L) = 0$ を満たす単調ラグランジュ部分多様体の位相にどのような制約を課えるか？
• RQ5 スペクトル不変量を用いて、フィルタードチェーン複体のオイラー特性 $\chi_{s,t}(L)$ を支配する不等式は何か？

主な発見

• $H_1(L;\mathbb{Z})$ が 2- torsion を持つ任意のラグランジュ部分多様体 $L \subset \mathbb{C}P^n$ に対して、 $H^*(L;\mathbb{Z}_2) \cong H^*(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}_2)$ なる次数付きベクトル空間同型が存在する。
• $n$ が偶数のとき、この同型は次数付き代数同型に拡張され、したがって $L$ のコホモロジーリングは $\mathbb{R}P^n$ のそれと同型である。
• $a$ を $H^2(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z}_2)$ の生成元とするとき、制限 $a|_L \in H^2(L;\mathbb{Z}_2)$ は偶数次元部分代数を生成する。
• $\dim_{\mathbb{C}}X = n+1$, $\pi_2(X) = 0$, $L$ が単連結であるとき、 $X$ をスケーリングした $\mathbb{C}P^n \times X$ 内では $L$ は球面でなければならない。
• 単調な $L$ で $HF(L,L) = 0$ の場合、$t-s$ が偶数のとき、不等式 $\chi_{s,t}(L) \leq \nu \min\{\gamma_{s-1}, \gamma_s\} + \nu \min\{\gamma_t, \gamma_{t+1}\}$ が成り立つ。
• $t-s$ が奇数のとき、 $\chi_{s,t}(L)$ は $-\lambda_t(L) \leq \chi_{s,t}(L) \leq \lambda_s(L)$ で抑えられ、ここで $\lambda_i(L)$ はスペクトル不変量により定義される。