[論文レビュー] Lagrangian Quantum Homology for Lagrangian cobordism

Berit Singer|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界部分集合 $S\subset\partial V$ に対するラグランジュ量子ホモロジー $QH_*(V,S)$ を定義することで、単調ラグランジュコボルドィズムへのラグランジュ量子ホモロジーの拡張を実現する。ピアリ・トラジェクトリと擬補間的ディスクを用いて、$QH_*(V,S)$ に自然な $\natural$-次数付き環構造を確立し、データの一般的選択に対する不変性を証明するとともに、コボルドィズムの量子ホモロジーとその端と周囲多様体の量子ホモロジーとの関係を明らかにし、ラグランジュ球面の判別式といった不変量への応用を示す。

ABSTRACT

We extend the definition of Lagrangian quantum homology to monotone Lagrangian cobordism and establish its general algebraic properties. In particular we develop a relative version of Lagrangian quantum homology associated to a cobordism relative to a part of its boundary and study relations of this invariant to the ambient quantum homology.

研究の動機と目的

• 単調ラグランジュコボルドィズム $V$ とその境界の部分集合 $S\subset\partial V$ に対する相対量子ホモロジー $QH_*(V,S)$ を定義し、研究すること。
• 標準的なラグランジュ量子ホモロジーに既知の構造を一般化する、特に $\natural$-次数付き環積を含む代数的構造を $QH_*(V,S)$ に確立すること。
• コボルドィズムの量子ホモロジーとその境界成分および周囲シンプレクティック多様体の量子ホモロジーとの関係を、環構造を保存する自然な写像を用いて関係づけること。
• 理論を用いて、ラグランジュ球面の判別式といった不変量を計算し、コボルドィズムに関して不変であることを示すこと。

提案手法

• コントロールされた勾配フローが $S$ を通じて外部へ出るよう、$\tilde{M} = \mathbb{R}^2 \times M$ 上のモース関数 $\tilde{f}$、計量 $\tilde{\rho}$、$\omega$-適合なほぼ複素構造 $\tilde{J}$ を用いて、チェイン複体 $C(V,S;\tilde{f},\tilde{\rho},\tilde{J})$ を構成する。
• このチェイン複体のホモロジーとして相対量子ホモロジー $QH_*(V,S)$ を定義し、一般的データに対して $\tilde{f}$, $\tilde{\rho}$, $\tilde{J}$ の選択に依存しないことを証明する。
• $\Lambda$-双線形積 $*\colon QH_i(V,S) \otimes QH_j(V,S) \to QH_{i+j-(n+1)}(V,S)$ を導入し、$QH_*(V,S)$ に（非ユニタリである可能性のある）環構造を与える。
• 係数がノビコフ環 $\Lambda = \mathcal{R}[t,t^{-1}]$ にとる、モース軌道と擬補間的ディスクの合成であるピアリ・トラジェクトリのモジュライ空間を用いて、微分および積を定義する。
• $QH_*(V,S)$, $QH_*(V)$, $QH_*(\partial V)$, および周囲の量子ホモロジー $QH_*(\tilde{M}_T)$ 間の自然な写像を確立し、包含写像および境界写像における挙動を分析する。
• ユニット $e_{(V,\partial V)}$ が $[(V,\partial V)] = ([L_1]_{QH_*(V)} + [L_2]_{QH_*(V)}) \times I = -[L_3]_{QH_*(V)} \times I$ を満たすことを証明し、コボルドィズムの量子類とその端を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ量子ホモロジーは、境界部分集合 $S$ に対して、単調ラグランジュコボルドィズムにどのように一般化できるか？
• RQ2 相対量子ホモロジー $QH_*(V,S)$ に、特に環構造を含むどのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 コボルドィズムの端と周囲多様体の量子ホモロジーは、全体のコボルドィズムの量子ホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 コボルドィズムの量子ホモロジーは、ラグランジュ球面の判別式といった不変量を検出できるか？また、コボルドィズムに関して不変であるか？

主な発見

• 一般的データに対して、モース関数 $\tilde{f}$, 計量 $\tilde{\rho}$, ほぼ複素構造 $\tilde{J}$ の選択に依存しないことから、相対量子ホモロジー $QH_*(V,S)$ は適切に定義されており、不変である。
• $QH_*(V,S)$ は $\Lambda$-双線形積を備え、（非ユニタリである可能性のある）環構造を持つ。$S = \partial V$ のときユニットを有し、次数シフト $n+1$ と整合する。
• $i_*\colon QH_*(\partial V) \to QH_*(V)$ は $e_{L_1}, e_{L_2}, e_{L_3}$ をそれぞれ $[L_1]_{QH_*(V)}, [L_2]_{QH_*(V)}, -[L_1]_{QH_*(V)} - [L_2]_{QH_*(V)}$ に写し、包含写像の非自明性を示す。
• $QH_*(V,\partial V)$ のユニット $e_{(V,\partial V)}$ は $[(V,\partial V)] = ([L_1]_{QH_*(V)} + [L_2]_{QH_*(V)}) \times I = -[L_3]_{QH_*(V)} \times I$ を満たし、コボルドィズム類とその端を結びつける。
• $QH_*(V,\partial V)$ 上の量子積は明示的に計算可能である：$x_1*x_1 = ([L_1]*[L_1]\times R)*e$、$x_2*x_2 = ([L_2]*[L_2]\times R)*e$、$x_1*x_2 = ([L_1]*[L_2]\times R)*e$ であり、ここで $[L_i]*[L_j]$ は周囲の量子積を表す。
• $i\colon QH_*(V,\partial V) \to QH_*(\tilde{M}_T, \partial\tilde{M}_T)$ は $e_{(V,\partial V)}$ を $([L_1]+[L_2])\times I$ に写し、基底要素をそれぞれ $[L_1]*([L_1]+[L_2])\times I$ および $[L_2]*([L_1]+[L_2])\times I$ に写す。