[論文レビュー] Lamplighter Random Walks and Entropy-Sensitivity of Languages

Ecaterina Sava‐Huss|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、グラフのワループ積上のランプライトワーサンダムウォークと、形式的言語におけるエントロピー感受性との関連を調査する。無限に多くのエンドをもつグラフ、あるいは双曲的構造をもつグラフにおけるランプライト・ランダムウォークのポisson境界が非自明であることを確立し、禁止遷移制約下で定義される言語（群論における語問題を含む）がエントロピー感受性であることを示した。マコフ連鎖を用いて成長率とスぺクトル半径を分析することで、禁止遷移付きのマコフ連鎖を用いて証明を行った。

ABSTRACT

The main purpose of this thesis is to study the interplay between geometric properties of infinite graphs and analytic and probabilistic objects such as transition operators, harmonic functions and random walks on these graphs. For a transient random walk, there are several problems one is interested in: for instance to study its convergence, to describe the bounded harmonic functions for the random walk, to describe its Poisson boundary, or to study the parameter of exponential decay of the transition probabilities of the random walk. In the first part of the thesis we deal with similar problems in the context of random walks on the so-called lamplighter graphs, which are wreath products of graphs. The convergence and the Poisson boundary of lamplighter random walks is studied for different underlying graphs, and the used methods are mostly of a geometrical nature. In the second part of the thesis we consider Markov chains on directed, labelled graphs. With such graphs we associate in a natural way a class of infinite languages (sets of labels of paths in the graph) and we study the growth sensitivity (or entropy sensitivity) of these languages using Markov chains.

研究の動機と目的

• 無限グラフ上のランプライト・ランダムウォークの漸近的挙動を分析し、境界への収束およびポisson境界構造を特定すること。
• グラフの幾何的性質（例：エンド数、双曲性）とランプライト・ウォークの確率的特徴との相関を調査すること。
• 禁止遷移付きのマコフ連鎖を用いて、ラベル付きグラフ上に定義された形式的言語の成長感受性を研究すること。
• 有限な禁止集合に対して、群論における語問題（シュライヤー・グラフ上の言語として表現される）がエントロピー感受性であることを証明すること。
• ラベル付きグラフ上での、禁止遷移付きと非制限のマコフ連鎖のスぺクトル半径およびエントロピーの比較を確立すること。

提案手法

• Z₂ ≀ G のワループ積構成を用いてランプライト・グラフをモデル化し、頂点をランプの配置と歩行者の位置で表す。
• エンドが無限個あるグラフにおけるランプライト・ランダムウォークのポisson境界を特定するため、半空間法を適用する。
• 調和関数と遷移作用素を用いて、境界への収束およびポisson境界構造を特徴付ける。
• ラベル付き有向グラフ上に定義されたマコフ連鎖を定義し、遷移確率を出次数の逆数に比例させる。
• ドーブのh変換を用いて「hプロセス」を導入し、禁止遷移集合Fをもつランダムウォークをモデル化する。
• スぺクトル半径の比較を用いる：禁止集合Fに対してρ(PF) < ρ(P)が成り立ち、これにより関連する言語におけるエントロピーが厳密に減少する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンドが無限個あるグラフ上のランプライト・ランダムウォークのポisson境界は何か？
• RQ2 グラフの双曲的構造は、ポisson境界およびランプライト・ランダムウォークの収束にどのように影響するか？
• RQ3 特定の遷移が禁止された場合、ラベル付きグラフ上の経路の言語がどのような条件下でエントロピー感受性となるか？
• RQ4 禁止遷移付きマコフ連鎖のスぺクトル半径と元の連鎖との関係は何か？
• RQ5 有限な語の集合が禁止された場合、群論における語問題の成長率（エントロピー）はどのように変化するか？

主な発見

• エンドが無限個あるグラフ上のランプライト・ランダムウォークのポisson境界は非自明であり、半空間法を用いて特定可能である。
• 双曲的グラフ上のランプライト・ウォークでは、グラフの無限双曲境界をもつ場合、ポisson境界は非自明である（エンドが1つであっても）。
• 禁止遷移付きマコフ連鎖のスぺクトル半径について、sup_{x,y} ρ_{x,y}(PF) < ρ(P) が成り立ち、エントロピーの厳密な減少を示唆する。
• 禁止要因を避ける経路 L_F^{x,y} のエントロピーは、非制限言語 L^{x,y} のエントロピーより厳密に小さいことから、エントロピー感受性が証明された。
• 有限生成群のシュライヤー・グラフにおいて、任意の空でない有限な禁止集合に対して、語問題言語はエントロピー感受性である。
• 一様に連結なラベル付きグラフ上の言語 L^{x,y} のエントロピーは、h(L^{x,y}) = log(ρ(P) · |Σ|) で与えられる。ここで ρ(P) はスぺクトル半径、|Σ| はアルファベットのサイズである。