[論文レビュー] LAN property for some fractional type Brownian motion

Serge Cohen, Fabrice Gamboa+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、零に近い周波数でべき則的挙動を示すスペクトル密度 $ f_\theta(x) \sim |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ を持つガウス過程のクラスに対して、局所漸近正規性（LAN）性質を確立する。ここで $ \alpha(\theta) < 1 $ である。著者らは、トーペリッツ行列のスペクトルノルム制御を用いて対数尤度関数の漸近展開を導出し、パrameter $ \theta $ に関する正則性条件下で分数拡散ブラウン運動の増分およびARFIMA過程に対してLANを証明する。

ABSTRACT

We study asymptotic expansion of the likelihood of a certain class of Gaussian processes characterized by their spectral density $f_θ$. We consider the case where $f_θ\PAR{x} \sim_{x o 0} \ABS{x}^{-\al(θ)}L_θ(x)$ with $L_θ$ a slowly varying function and $\al\PARθ\in (-\infty,1)$. We prove LAN property for these models which include in particular fractional Brownian motion %$B^α_t,\: α\geq 1/2$ or ARFIMA processes.

研究の動機と目的

• 零に近い周波数で特異的スペクトル密度を示す定常ガウス過程のクラスに対して、局所漸近正規性（LAN）性質を確立すること。
• その増分の性質を活用して、非定常モデル（時間離散化された分数ブラウン運動）に対してもLAN結果を拡張すること。
• ARFIMA(p,d,q)過程が要求されるスペクトル条件を満たすかどうかを検証し、LAN性質を継承すること。
• スペクトル漸近論を用いて、長-memoryおよび自己相似過程における漸近尤度解析の一般枠組みを提供すること。
• 逆行列および平方根付きトーペリッツ行列の積に対するスペクトルノルムの境界を用いて、対数尤度関数の高階微分を制御すること。

提案手法

• 観測モデル $ \mathbf{X}_n = (X_1, \dots, X_n) $ の対数尤度関数の漸近展開を、$ x \to 0 $ のとき $ f_\theta(x) \sim |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ となるスペクトル密度 $ f_\theta(x) $ に依存して導出する。
• 結果 [16] および補題 2.1 に基づき、$ f $ および $ g $ をスペクトル密度とする形の積 $ T_n(f)^{-1/2}T_n(g)^{1/2} $ のスペクトルノルム推定を用いる。
• 結果 [16] の定理 2.3 および定理 2.5 を適用し、逆行列および微分付きトーペリッツ行列の積のトレースを制御し、$ n $ および $ \theta $ に関して一様有界性を保証する。
• スペクトルノルム不等式を用いて、対数尤度関数の3階微分 $ \partial^3 F_n / \partial \theta_k^3 $ の $ L^2 $-ノルムを境界化することで、その3階微分を制御する。
• 残差項のスケーリングされた収束が $ P^n_{\theta_0} $ の下でほとんど確実にゼロに収束することを示し、LAN構造を確認する。
• ガウスベクトルに対する大数の法則を用いて、$ \|T_n(f_{\theta_0})^{-1/2}x_n\|^2 / n \to 1/\pi $ がほとんど確実に成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル密度が零に近い周波数で $ |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ のように振る舞い、$ \alpha(\theta) < 1 $ であるガウス過程に対して、LAN性質は成立するか？
• RQ2 定常的分数ガウスノイズから非定常的時間離散化分数ブラウン運動へのLAN性質の拡張は可能か？
• RQ3 パrameter $ d \in (-\infty, 1) $ を持つARFIMA(p,d,q)過程は、LANに必要なスペクトル条件を満たすか？
• RQ4 このようなモデルにおける対数尤度の3階微分の漸近的挙動は何か？
• RQ5 べき則的スペクトル仮定の下で、$ T_n(f)^{-1/2} $ および $ T_n(f)^{1/2} $ を含む行列積の均一なスペクトルノルム境界は確立可能か？

主な発見

• スペクトル密度 $ f_\theta(x) \sim |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ を持つガウス過程のクラスに対して、$ x \to 0 $ のとき $ \alpha(\theta) < 1 $ かつ $ L_\theta $ がゆっくり変動する関数である限り、LAN性質が成立する。
• 分数ガウスノイズ（分数ブラウン運動の増分）に対しては、$ \alpha(\theta) < 1 $ の条件下でLAN性質が確立され、これはハーストパラメータ $ H \in (0,1) $ に対応する。
• 非定常的時間離散化分数ブラウン運動に対しても、その定常的増分を分析することで、LAN性質が拡張可能である。
• ARFIMA(p,d,q)過程は $ d < 1 $ のとき、LANに必要なスペクトル条件を満たすが、$ d \leq -1 $ の場合、非可逆性が生じる可能性がある。
• 対数尤度の3階微分 $ \partial^3 F_n / \partial \theta_k^3 $ に対して、$ \frac{1}{n^{3/2}} \sup_\theta |\partial^3 F_n / \partial \theta_k^3| \to 0 $ が $ P^n_{\theta_0} $ の下でほとんど確実に成り立つことが確認され、LANの残差条件が裏付けられる。
• 補題 2.1 を用いて、$ \|T_n(f_\theta)^{-1/2}T_n(f_{\theta_0})^{1/2}\|_{2,n} $ の均一なスペクトルノルム境界が確立され、成長率が $ n^{3\varepsilon} $ で制御されるため、収束解析が可能になる。