[論文レビュー] Langlands-Rapoport Conjecture Over Function Fields

Esmail Arasteh Rad, Urs Hartl|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は関数体上のグローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックに関して、ラングランズ=ラポポート予想を定式化し、証明する。$\nabla{\mathscr{H}}$-データを用いて、$p$を法とする点の群論的記述を確立する。主な結果は、有限体上の${\mathfrak{G}}$-シトゥカの集合が、自己同型類に沿った単一の直和に分解されることを示す。これは、ヘッケ作用とガロア作用と整合的である。

ABSTRACT

In this article we formulate and prove the analogue of the Langlands-Rapoport conjecture for the moduli stacks of global $G$-shtukas. Here $G$ is a parahoric Bruhat-Tits group scheme over a smooth projective curve $C$ over a finite field $\mathbb{F}_q$.

研究の動機と目的

• 関数体上のグローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックへ、シャイマーヴァリエティからラングランズ=ラポポート予想を拡張すること。
• これらのモジュライスタックの$mod\ p$点の群論的記述を、元のシャイマーヴァリエティの予想に類似させる。
• 有限体上の${\mathfrak{G}}$-シトゥカの集合と、群スキームへのホモモーフィズムの自己同型類によってインデックスされた直和との間の標準的同型を確立すること。
• アデール群${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}})$およびガロア群の作用とこの同型が整合的であることを確認すること。
• トレース公式と局所モデルを用いて、これらのモジュライスタックのハッセ=ヴァイルゼータ関数を計算するための基礎的道具を構築すること。

提案手法

• $\nabla{\mathscr{H}}$-データを、${\mathfrak{G}}$が曲線$C$上のパラホリックブルア＝ティッツ群スキームで、$\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$がねじれたアフィンフラッグ多様体の形式的完成の上界のタプルであるような対$({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$として形式化する。
• ${\mathfrak{G}}$-シトゥカを固定の特徴${\underline{\nu}}$、$\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$による境界、$H$-レベル構造を備えた、形式的代数的スタックの塔$\nabla_{n}^{H,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}$を構成する。
• $\varphi: \mathfrak{P} \to {\mathfrak{G}} \times_C \operatorname{Spec}(\breve{Q} \otimes_Q \breve{Q})$の自己同型類の直和として定義される群ガロア$ {{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) $を、特別な点を符号化する。
• ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) \xrightarrow{\sim} \nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}({\overline{{\mathbb{F}}}})$の同型を確立し、${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライ空間と$\nabla{\mathscr{H}}$-データの群ガロアを同定する。
• アフィンフラッグ多様体における局所モデルおよびシューベルト多様体の理論を用いて、コホロロジー上のフロベニウスの半単純トレースを、ヘッケ代数の中心の関数に結びつける。
• ${\mathfrak{G}}$-シトゥカの局所理論およびモチーフ的解釈に関する先行研究の結果を活用し、構成がヘッケおよびガロア対称性と整合的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャイマーヴァリエティから関数体上の${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックへ、ラングランズ=ラポポート予想をどのように一般化できるか。
• RQ2 関数体設定下で、${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックの$mod\ p$点の正確な群論的記述は何か。
• RQ3 アデール群${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}})$のモジュライ空間上の作用は、$\nabla{\mathscr{H}}$-データの構造とどのように関係するか。
• RQ4 この枠組みを用いて、${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックのハッセ=ヴァイルゼータ関数を$L$-関数の積として表現できるか。
• RQ5 特別および適切な${\mathfrak{G}}$-シトゥカは、自動形式的データとガロアデータの間の対応を実現するために果たす役割は何か。

主な発見

• モジュライスタック$\nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}$の$mod\ p$点は、群ガロア$ {{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) $によって標準的にパrametrizedされる。これは、$\varphi: \mathfrak{P} \to {\mathfrak{G}} \times_C \operatorname{Spec}(\breve{Q} \otimes_Q \breve{Q})$の自己同型類を分類する。
• ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) \xrightarrow{\sim} \nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}({\overline{{\mathbb{F}}}})$の同型は、${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}}) \times Z(Q) \times {\underline{\Phi}}$の作用と整合的であり、ガロアおよびヘッケ対称性を保証する。
• ${\mathfrak{G}}$-シトゥカの準同型類には、特別な代表元が存在する。また、シータ写像$\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0}$の像は、準同型類を決定する。
• $\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0}$と$\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0'}$の像の非空な共通部分集合が存在することは、2つの${\mathfrak{G}}$-シトゥカが同じ準同型類に属することと同値である。
• $\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$がシューベルト多様体$\mathcal{S}(w_i)$によって定義されるとき、許容性条件は群論的に特徴づけられる。
• この構成は、トレース公式およびコットヴィッツのテスト関数予想を用いて、モジュライスタックのハッセ=ヴァイルゼータ関数を計算するための重要な要素を提供する。