[論文レビュー] Laplace operators on the cone of Radon measures

Yuri Kondratiev, Eugene Lytvynov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

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ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体 X 上のラドン測度の錐上で、基礎となる群作用の準不変性が欠如しているにもかかわらず、ラプラシアン作用素を構成する。部分的準不変性を活用し、ディリクレ形式理論を用いることで、生成作用素がラプラシアン作用素である離散ラドン測度空間上の拡散過程の明示的構成と、本質的自己随伴性の証明を行う。

ABSTRACT

We consider the infinite-dimensional Lie group $\mathfrak G$ which is the semidirect product of the group of compactly supported diffeomorphisms of a Riemannian manifold $X$ and the commutative multiplicative group of functions on $X$. The group $\mathfrak G$ naturally acts on the space $\mathbb M(X)$ of Radon measures on $X$. We would like to define a Laplace operator associated with a natural representation of $\mathfrak G$ in $L^2(\mathbb M(X),μ)$. Here $μ$ is assumed to be the law of a measure-valued Lévy process. A unitary representation of the group cannot be determined, since the measure $μ$ is not quasi-invariant with respect to the action of the group $\mathfrak G$. Consequently, operators of a representation of the Lie algebra and its universal enveloping algebra (in particular, a Laplace operator) are not defined. Nevertheless, we determine the Laplace operator by using a special property of the action of the group $\mathfrak G$ (a partial quasi-invariance). We further prove the essential self-adjointness of the Laplace operator. Finally, we explicitly construct a diffusion process on $\mathbb M(X)$ whose generator is the Laplace operator.

研究の動機と目的

• リーマン多様体 X 上のラドン測度空間にラプラシアン作用素を定義すること。ただし、大規模な無限次元リー群の作用下で準不変性が欠如している場合でも。
• 測度 μ（測度値 Lévy 確率過程の分布）が準不変でないために生じるユニタリ表現の障害を克服すること。
• ラドン測度の錐上の L² 空間において、ラプラシアン作用素の本質的自己随伴性を確立すること。
• 生成作用素が定義されたラプラシアン作用素と一致する、離散ラドン測度空間上の拡散過程を明示的に構成すること。
• 一般ラドン測度空間上における代替の接空間構造と、それらに関連するディリクレ形式および生成作用素を探索すること。

提案手法

• コンパクト台付き微分同相写像とコンパクト台付き正の連続関数の乗法群との半直積として、無限次元リー群 𝔾 を定義する。
• X 上のラドン測度空間 ℳ(X) における 𝔾 の作用を用いて、測度 μ が準不変でないにもかかわらず自然な表現を定義する。
• 部分的準不変性の概念を導入し、有限個の原子の配置空間上でディリクレ形式を介してラプラシアン作用素を定義する。
• ラプラシアン–ベルトラミ作用素と ℝ₊ 上の2階微分作用素を含む積分作用素として、ラプラシアン作用素の生成作用素を構成する。
• 測度値 Lévy 確率過程の構造とディリクレ形式理論を用いて、ラプラシアン作用素の本質的自己随伴性を証明する。
• マルコフ性と関連確率過程の構成を用いて、連続パスを持つ ℳ(X) 上の拡散過程を明示的に構成し、その生成作用素が定義されたラプラシアン作用素と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用が測度 μ を不変に保たない場合、特に標準的ユニタリ表現が不可能な状況下でも、ラドン測度空間上にラプラシアン作用素を定義可能か？
• RQ2 群作用と測度 μ のどの構造的性質が、完全な準不変性が欠如する状況下でも意味のあるラプラシアン作用素の定義を可能にするか？
• RQ3 ディリクレ形式アプローチによって定義されたラプラシアン作用素が、円柱関数空間上で本質的に自己随伴か？
• RQ4 生成作用素がラプラシアン作用素と一致する、離散ラドン測度空間上の保守的拡散過程を明示的に構成可能か？
• RQ5 Lévy 確率過程における強度測度 l(s) の選択が、関連する拡散過程のパス挙動と保守性にどのように影響するか？

主な発見

• 測度 μ が群作用に関して準不変でないにもかかわらず、離散ラドン測度空間上でディリクレ形式を介してラプラシアン作用素が定義される。
• ラドン測度の錐上の円柱関数空間において、ラプラシアン作用素は本質的に自己随伴であり、一意な自己随伴拡張が存在する。
• 生成作用素が定義されたラプラシアン作用素と一致する、離散ラドン測度空間上の拡散過程が明示的に構成される。
• ラプラシアン作用素の生成作用素は、局所的作用素の積分として作用する：X 上のラプラシアン–ベルトラミ作用素と ℝ₊ 上の2階微分作用素の組み合わせ。
• ガンマ測度の場合（l(s) = e⁻ˢ）、過程の径方向成分は非保守的である。これは、0に到達して吸収するためであり、全過程の非保守性を示唆する。
• ℳ(X) 上に代替の接空間構造を導入すると、異なるディリクレ形式と生成作用素が得られるが、ガンマの場合には関連する過程も非保守的であり、明示的構成における課題を示している。