[論文レビュー] Large Banking Systems with Default and Recovery: A Mean Field Game Model

Romuald Élie, Tomoyuki Ichiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、平均場ゲームモデルを大規模なバンキングシステムに適用し、平均回帰的ドリフトとデフォルト閾値の到達時間を持つ McKean-Vlasov SDE を用いてデフォルトおよびリカバリーのダイナミクスを組み込む。システムリスクを Fokker-Planck 方程式における爆発現象としてモデル化し、リスクを最小化するための最適化問題を定式化。特殊ケースでは明示的解を提供し、一般ケースについては有限差分法による数値結果を提示。

ABSTRACT

We consider a mean-field model for large banking systems, which takes into account default and recovery of the institutions. Building on models used for groups of interacting neurons, we first study a McKean-Vlasov dynamics and its evolutionary Fokker-Planck equation in which the mean-field interactions occur through a mean-reverting term and through a hitting time corresponding to a default level. The latter feature reflects the impact of a financial institution's default on the global distribution of reserves in the banking system. The systemic risk problem of financial institutions is understood as a blow-up phenomenon of the Fokker-Planck equation. Then, we incorporate in the model an optimization component by letting the institutions control part of their dynamics in order to minimize their expected risk. Phrasing this optimization problem as a mean-field game, we provide an explicit solution in a special case and, in the general case, we report numerical experiments based on a finite difference scheme.

研究の動機と目的

• デフォルトの連鎖的発生に起因する Fokker-Planck 方程式における爆発現象として、大規模バンキングシステムにおけるシステムリスクをモデル化すること。
• 機関が自己の特異的リスクを最小化するために動的特性を最適化する戦略的行動を組み込むために、平均場ゲームとして定式化すること。
• 相互作用の強さ、初期資産、ボラティリティ、割引率がデフォルト率およびシステムの安定性に与える影響を分析すること。
• 有限差分に基づく数値スキームと反復アルゴリズムを用いて、結合された Hamilton-Jacobi-Bellman 方程式と Fokker-Planck 方程式を解く手法を開発すること。
• 初期資産がゼロに近い場合に、システムが爆発を示すか、定常状態に収束するかの条件を調査すること。

提案手法

• 個々の銀行の準備金に対して、経験的平均準備金に依存するドリフト項と平均回帰項を有する McKean-Vlasov SDE を定式化する。
• 準備金がゼロに達する際の到達時間として銀行のデフォルトをモデル化し、システム的ショックが発生して残りのすべての銀行の準備金が平均準備金に比例して減少することを想定する。
• 新規銀行がデフォルト前の平均準備金と等しい準備金を有する形で即座に創出される「出生機構」を導入し、機関数の数を維持する。
• 準備金の分布に対する関連する Fokker-Planck 方程式を導出し、爆発をシステム的危機の兆候として特定する。
• 最適化問題を平均場ゲームとして定式化し、結合された Hamilton-Jacobi-Bellman 方程式と Fokker-Planck 方程式の系を導出する。
• 逐次超緩和法とニュートン法を用いて収束を確保する反復的有限差分スキーム（アルゴリズム1）を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 銀行間の相互作用強度が、デフォルト率ダイナミクスとして測定されるシステムリスクの発生に与える影響は何か？
• RQ2 Fokker-Planck 方程式が爆発を示す条件は何か？ これは金融危機の連鎖的発生とどのように関係するか？
• RQ3 初期準備金レベル、ボラティリティ、割引率がバンキングシステムの長期的安定性に与える影響は何か？
• RQ4 特定のパrametric仮定のもとで、平均場ゲームに対する明示的解を導出可能か？
• RQ5 初期準備金がゼロに近い場合に、特に数値的シミュレーションで生じる課題は何か？ それらはどのように解決されるか？

主な発見

• 相互作用強度（a）が高くなる、または初期平均準備金（x₀）が高いほどデフォルト率が上昇し、割引率（r）が高い、またはボラティリティ（σ）が低いほど低下する。
• 初期平均準備金が3.0の場合、システムは安定しており、デフォルト率はほぼゼロで、平均準備金の変化も最小限に抑えられる。
• 初期準備金が約1.8未満の場合、数値的収束が失敗し、T=10までの間に爆発が発生する可能性があることが示唆され、理論的予想と整合的である。
• 初期段階では拡散が弱い銀行を迅速にデフォルトに導くため、デフォルト率は急激に上昇するが、その後平均レベルに再注入される新規銀行の存在により安定化する。
• 解は初期平均の周辺に集中しているが、境界のアーティファクトを避けるために、十分に大きな空間領域（L=10）が必要である。
• 数値実験により、ベースラインパラメータ（a=0.5, x₀=2.0, r=0.5, σ=1.0）のもとで反復的有限差分スキームが収束し、mおよびuの安定的かつ解釈可能なダイナミクスが得られることを確認した。