[論文レビュー] Large Deviation Principle for $S$-unimodal maps with flat critical point

Yong Moo Chung, Hiroki Takahasi|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対数的または多項式的臨界順序を有する非再帰的で平坦な臨界点をもつ位相的に正確で負のシュワルツ微分をもつ $S$-unimodal 写像について、大偏差原理（LDP）を確立する。不変測度に対して、レート関数は $\mathscr{I}(\mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ で与えられ、レート関数のゼロ集合を完全に同定する。また、パrameter $\alpha = 1$ における臨界的転移において、最小化子の集合が $\delta_0$ と絶対連続不変測度（acip）の凸結合から $\delta_0$ のみに移行することを示す。

ABSTRACT

We study a topologically exact, negative Schwarzian unimodal map whose critical point is non-recurrent and flat. Assuming the critical order is either logarithmic or polynomial, we establish the Large Deviation Principle and give a partial description of the zeros of the corresponding rate functions. We apply our main results to a certain parametrized family of unimodal maps in the same topological conjugacy class, and give a complete description of the zeros of the rate functions. We observe a qualitative change at a transition parameter, and show that the sets of zeros depend continuously on the parameter even at the transition.

研究の動機と目的

• 非再帰的で平坦な臨界点をもつ $S$-unimodal 写像における大偏差原理（LDP）の確立。
• LDP に関連するレート関数のゼロ集合の記述。
• 特に転移点において、パrameter 変化に伴うレート関数のゼロ集合の連続性の分析。
• パラメータ族（例：Manneville-Pomeau 写像）への応用を通じて、レート関数のゼロ集合の完全な同定。

提案手法

• 著者らは、適切な区間 $I$ における最初の帰還写像に基づく誘導スキームを用い、典型軌道の統計的挙動を分析する。
• 帰還時間分布に対して、仕様性に類似した性質を確立し、ある $C>0$ に対して $|\{R=n+1\}| / |\{R>n\}| \geq C n^{-2(1+\alpha)/\alpha}$ を示す。これは帰還時間の減衰を制御する。
• LDP の上界の証明は、この減衰推定に依存し、以前の非平坦性に関する仮定を置き換える。
• レート関数は、モーメント母関数のLegendre変換により導出され、$f$-不変な $\mu$ に対して $\mathscr{I}(\mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ が成り立ち、それ以外では $\infty$ となる。
• acips の弱収束は、$\log|Df_\alpha|$ の一様収束と測度の弱収束を用いて分析され、$\alpha \nearrow 1$ のとき $\mu_{\rm ac,\alpha} \to \delta_0$ を示す。
• レート関数のゼロ集合の構造は、中立的固定点におけるリャプノフ指数とエントロピーに関するLedrappierの結果を用いて同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非再帰的で平坦な臨界点をもつ $S$-unimodal 写像に対して、大偏差原理（LDP）は成立するか？
• RQ2 このような写像に対して、レート関数の明確な形は何か？ そして、その関数はどこでゼロとなるか？
• RQ3 パrameter $\alpha$ の変化に伴い、レート関数の最小化子（すなわちゼロ集合）はどのように変化するか？ 特に転移点においては？
• RQ4 レート関数のゼロ集合は、パrameter $\alpha$ に関して連続的であるか？ 特に転移点においても？
• RQ5 パラメータ $\alpha \nearrow 1$ のとき、acip $\mu_{\rm ac,\alpha}$ の漸近的挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 対数的または多項式的臨界順序をもつ非再帰的で平坦な臨界点をもつ $S$-unimodal 写像に対して、大偏差原理（LDP）が成立する。
• レート関数は、$f_\alpha$-不変な $\mu$ に対して $\mathscr{I}(f_\alpha; \mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ で与えられ、それ以外では $\infty$ となる。
• $0 < \alpha < 1$ のとき、レート関数は $p\delta_0 + (1-p)\mu_{\rm ac,\alpha}$（$p \in [0,1]$）の形の測度においてのみゼロとなる。
• $\alpha \geq 1$ のとき、レート関数は $\delta_0$ のみでゼロとなる。これは、典型的極限分布の構造における定性的な変化を示している。
• レート関数のゼロ集合は、$\alpha = 1$ の転移点でさえも、$\alpha$ に関して連続的である。構造の変化にもかかわらず。
• パラメータ $\alpha \nearrow 1$ のとき、acip $\mu_{\rm ac,\alpha}$ は弱収束して $\delta_0$ に収束する。これは特異な極限測度の出現を確認する。