[論文レビュー] Large deviations for a random speed particle

R. Lefevere, Mauro Mariani+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界で確率的スピードリセットを行う箱内を移動する粒子の経験測度に関する大偏差を検討する。スピードは重尾分布に従う独立同分布の確率変数である。尾部が十分に振動する場合、経験測度は標準的大偏差原理を満たさず、Donsker-Varadhan汎関数とは著しく異なる最適な下界および上界のレート関数を示す。これは重尾が引き起こす長-range依存性に起因する。

ABSTRACT

We investigate large deviations for the empirical measure of the position and momentum of a particle traveling in a box with hot walls. The particle travels with uniform speed from left to right, until it hits the right boundary. Then it is absorbed and re-emitted from the left boundary with a new random speed, taken from an i.i.d. sequence. It turns out that this simple model, often used to simulate a heat bath, displays unusually complex large deviations features, that we explain in detail. In particular, if the tail of the update distribution of the speed is sufficiently oscillating, then the empirical measure does not satisfy a large deviations principle, and we exhibit optimal lower and upper large deviations functionals.

研究の動機と目的

• 有界区間内をランダムスピードの更新ダイナミクスに従う粒子の経験測度の大偏差を分析すること。
• 標準Donsker-Varadhan大偏差原理が成立しない条件を同定すること。
• スピード分布が長時間の帰還を引き起こす重尾を持つ場合、経験測度の挙動を特定すること。
• 標準レート関数が無効となる場合に最適な下界および上界の大偏差汎関数を構成すること。
• 重尾的帰還時間の存在下で、標準的再生理論および逆写像技術がなぜ失敗するかを説明すること。

提案手法

• 粒子を右境界に到達した際に独立同分布のスピード更新を行うマルコフ過程としてモデル化し、間欠的衝突時間 $\tau_i = 1/v_i$ を用いた再生過程の構造を用いる。
• 区間 $[0,1) \times \mathbb{R}_+$ 上の経験測度 $\mu_t = \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{(q_s,p_s)} \, ds$ を定義し、弱位相におけるその大偏差を研究する。
• プロセスの生成作用素 $L$ を、$Lg(q,p) = p \partial_q g$ および境界条件 $g(1,p) = \int \psi(d\tau) g(0,1/\tau)$ で与え、ダイナミクスを分析する。
• レート汎関数を計算するために、Donsker-Varadhanの変分公式 $I(\mu) = \sup_{g>0, g \in D(L)} (-\langle g^{-1} Lg \rangle_\mu)$ を適用する。
• 正の $c$ に対して $\mathbb{E}[\exp(c/v_i)]$ の振る舞いを分析し、スピード分布の尾部が非常に遅いスピードの非無視可能な確率をもたらすかどうかを特定する。
• スピード分布の尾部が振動する場合、標準Donsker-Varadhan汎関数が失敗する状況において、最適な下界および上界の大偏差汎関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピード分布のどのような条件下で、確率的スピード粒子の経験測度が大偏差原理を満たさないか。
• RQ2 スピード $v_i$ の重尾分布が不変測度への収束および標準的大偏差理論の有効性に与える影響は何か。
• RQ3 Donsker-Varadhan汎関数が長時間帰還のため無効となる場合、レート汎関数の構造はいかなるものか。
• RQ4 帰還時間 $1/v_i$ が重尾を持つ場合、なぜ標準的再生手法および逆写像法がこのモデルで失敗するのか。
• RQ5 標準LDPが成立しない場合に、最適な下界および上界の大偏差汎関数を構成できるか。

主な発見

• スピード分布の尾部が十分に振動し、ある $c>0$ に対して $\mathbb{E}[\exp(c/v_i)] = \infty$ である場合、経験測度は大偏差原理を満たさない。
• Donsker-Varadhan汎関数が失敗する場合、レート汎関数は標準形とは著しく異なり得る。経験測度は不変測度に関して特異的である測度に集中する可能性がある。
• スピード分布に重尾が存在すると、不変測度への収束が遅くなり、指数モーメントに基づく標準的大偏差技法が無効化される。
• 標準的手法の失敗は、再生過程における正則性の欠如およびスピードの逆数の有界性の欠如に起因し、逆写像の適用性が損なわれる。
• 振動する尾部の状況において、最適な下界および上界の大偏差汎関数を明示的に構成し、系が非標準的なレアイベント挙動を示すことを明らかにした。
• 解析により、指数的に小さい確率の事象が、$v_i \sim t^{-1}$ の非常に遅い速度の発生によって支配されることが判明した。このような速度は大偏差スケールにおいて無視できない。