[論文レビュー] Large deviations for interacting Bessel-like processes and applications to systemic risk

Tomoyuki Ichiba, Mykhaylo Shkolnikov|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非リプシッツ的かつ退化する拡散係数を有する相互作用的ベッセル型拡散過程系について、大偏差原理を確立し、非局所的 McKean-Vlasov 型 SDE を通じて流体的極限および混沌の伝播を証明する。主な貢献は、係数の明示的条件の下で初めての此类の結果であり、銀行間貸し借りシステムにおけるシステミックリスクへの応用を含む。

ABSTRACT

We establish a process level large deviation principle for systems of interacting Bessel-like diffusion processes. By establishing weak uniqueness for the limiting non-local SDE of McKean-Vlasov type, we conclude that the latter describes the process level hydrodynamic limit of such systems and obtain a propagation of chaos result. This is the first instance of results of this type in the context of interacting diffusion processes under explicit assumptions on the coefficients, where the diffusion coefficients are allowed to be both non-Lipschitz and degenerate. In the second part of the paper, we explain how systems of this type naturally arise in the study of stability of the interbank lending system and describe some financial implications of our results.

研究の動機と目的

• 非退化的かつ非リプシッツ的拡散係数を有する相互作用的拡散過程系について、プロセスレベルの大偏差原理を確立すること。
• 有限系の極限として得られる非局所的 McKean-Vlasov 型 SDE の弱解の存在と流体的極限の証明。
• 駆動項および拡散係数に関する明示的仮定の下で、平均場極限における混沌の伝播を示すこと。
• ベッセル型ダイナミクスを用いて、銀行間貸し借りシステムにおけるシステミックリスクをモデル化すること。
• 極限SDEの長時間挙動および定常分布の分析、特にガンマ型定常分布の特定。

提案手法

• スケール $ n $ のプロセスレベルの大偏差原理の使用。レート関数は制御過程およびブラウン運動の上での変分公式により定義される。
• 極限の非局所的SDEの弱解の一意性の応用により、流体的極限が適切に定義されることを保証する。
• 伊藤の補題およびモーメント推定を用いて、過程の一次および二次モーメントのためのODEを導出する。
• 過程の分布の時間発展の解析を可能にする、ラプラス変換のための線形一次PDEの導出。
• Fokker-Planck方程式およびラプラス変換技術を用いて、特定の結合条件の下で定常分布がガンマ分布として特徴付けられることを示す。
• 相互作用関数 $ \varphi $ によって駆動されるODEを用いた分散ダイナミクスの分析により、弱い相互作用下では初期に分散が増加することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用的ベッセル型拡散過程系が大偏差原理を満たす条件は何か？
• RQ2 このような系の流体的極限はどのように振る舞い、極限の非局所的SDEの性質は何か？
• RQ3 非退化的かつ非リプシッツ的拡散係数を有する系において、弱解の一意性および混沌の伝播を保証する条件は何か？
• RQ4 相互作用関数 $ \varphi $ および初期条件は、長時間挙動および定常分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 この枠組みは、銀行間貸し借りシステムにおけるシステミックリスクのモデリングにどのような金融的含意を持つか？

主な発見

• 経験的測度の列 $ \rho^n $ は空間 $ \mathcal{X} $ 上で大偏差原理を満たし、レート関数は $ J(\gamma) = \frac{1}{2} \inf_{(u,W)} \mathbb{E}\left[\int_0^T u(t)^2 dt\right] $ で与えられる。ここで、下界は制御過程 $ (u,W) $ が $ \gamma $ を制御SDEの分布として得るようなものである。
• 流体的極限は、非局所的SDE $ dX(t) = b(X(t), \mathcal{L}(X(t))) dt + \sigma(X(t)) dW(t) $ の一意的強い解として特徴付けられる。ここで $ \sigma(x) = \sqrt{x} g(x) $、$ g $ は連続的かつ有界で、正の値をとる。
• 混沌の伝播が成立する：任意の固定された数の粒子の同時分布は、平均場SDEの独立解の積に収束する。
• 過程の分散 $ V(t) $ は、相互作用が弱い場合に初期に増加し、$ \frac{dV}{dt} = 4m_\lambda - 2\varphi(\mathcal{L}(X(t))) V(t) $ で記述されるODEに従う。初期値は $ V(0) = 0 $。
• 再帰性が成り立つ場合、定常分布は形状 $ \mathfrak{a} = 2/\varphi^* $ および尺度 $ \mathfrak{b} = \varphi^* m_\lambda / 2 $ のガンマ分布となる。ここで $ \varphi^* = \varphi(\alpha) $ である。
• 定常分布はラプラス変換方程式 $ (\varphi^* + 2x) \frac{d\mathfrak{u}}{dx} + \varphi^* m_\lambda \mathfrak{u} = 0 $ を満たし、$ \mathfrak{u}(x) = (1 + (2/\varphi^*)x)^{-\varphi^* m_\lambda / 2} $ を得る。