[論文レビュー] Large Deviations for the Single Server Queue and the Reneging Paradox

Rami Atar, Amarjit Budhiraja+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2019

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、遅延を伴うM/M/1+Mキューに対して、標本路の大偏差原理（LDP）を確立し、異常な高さまたは低さのリネージング件数の減衰率が、個々の顧客のリネージング率 θ に依存しないことを証明している。主な結果は、『リネージングパラドックス』の類似物を明らかにしている。これは、最適測度下でリネージングに伴う大偏差コストが消えるが、θ がモデルのダイナミクスに影響を与えるにもかかわらず、そのように現れる。

ABSTRACT

For the M/M/1+M model at the law-of-large-numbers scale, the long run reneging count per unit time does not depend on the individual (i.e., per customer) reneging rate. This paradoxical statement has a simple proof. Less obvious is a large deviations analogue of this fact, stated as follows: The decay rate of the probability that the long run reneging count per unit time is atypically large or atypically small does not depend on the individual reneging rate. In this paper, the sample path large deviations principle for the model is proved and the rate function is computed. Next, large time asymptotics for the reneging rate are studied for the case when the arrival rate exceeds the service rate. The key ingredient is a calculus of variations analysis of the variational problem associated with atypical reneging. A characterization of the aforementioned decay rate, given explicitly in terms of the arrival and service rate parameters of the model, is provided yielding a precise mathematical description of this paradoxical behavior.

研究の動機と目的

• フロイドスケーリング下で、リネージングを伴うM/M/1+Mキューに対する標本路の大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 到着率がサービス率を上回る場合に、長期間にわたるリネージング件数が通常とは著しく多いまたは少ない確率の減衰率を分析すること。
• 個々のリネージング率 θ に依存しないという事実を示すことで、大偏差スケールにおける『リネージングパラドックス』を解明すること。
• 変分法およびオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて、到着率とサービス率のみの関数として減衰率を明示的に特徴付けること。
• 最適測度変換下で、正規化されたリネージング率がその大数の法則の値を維持することを示し、リネージングに伴う大偏差コストが消えることを示すこと。

提案手法

• 到着、サービス完了、リネージングイベントを記述するためにポアソン確率測度（PRM）を用いてシステムをモデル化する。
• PRMの汎関数の期待値に対する一般的な変分表現を適用し、ラプラス原理の上界および下界を導出する。
• 状態ダイナミクス方程式（到着、サービス、リネージング強度を含む）を満たす制御過程 φ の下での下界を、関数 I_T(ξ,ζ) として定義する。
• 縮約原理を用いて、リネージング件数過程 Y^n(t) 及びその正規化極限に対するLDPを導出する。
• 関連する変分問題に変分法を適用し、率関数の最小化に寄与するオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• キュー長 ξ(t) ≥ 1 となる軌道に限定し、縮小モデルからの流体軌道の変換を用いて最小化子を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M/M/1+Mキューにおける、異常なリネージング件数の減衰率は、大偏差スケールで個々の顧客のリネージング率 θ に依存するか？
• RQ2 正規化されたキュー長と正規化されたリネージング件数の連合過程に対して、標本路の大偏差原理を厳密に確立できるか？
• RQ3 到着率 λ > μ の場合に、異常な高さまたは低さのリネージング件数を含む希少事象の減衰率の明示的形は何か？
• RQ4 θ がモデルのパrameterであるにもかかわらず、最適測度下でリネージングに伴う大偏差コストが消えるのはなぜか？
• RQ5 変分問題における最適制御軌道はどのように振る舞い、異常なリネージング行動の構造を何を明らかにしているか？

主な発見

• 異常なリネージング件数の減衰率は、個々のリネージング率 θ に依存しないことが確認され、『リネージングパラドックス』の大偏差類似物が裏付けられた。
• 減衰率 C(γ) は λ と μ のみの関数として明示的に与えられ、かつ、典型的なリネージング率 γ₀ = (λ − μ)+ からの大きな偏差および小さな偏差の両方で同一である。
• 異常なリネージングに対して最適な測度変換を行うと、正規化されたリネージング率はその大数の法則の値のまま維持され、リネージングに伴う大偏差コストがゼロであることを示唆する。
• 率関数の最小化子は、キュー長が1以上を維持する軌道に対応し、縮小された流体モデルからの変換を用いて最適制御が導出される。
• 率関数 I_T(ξ,ζ) は、状態軌道 (ξ,ζ) が適切な強度制御を伴う流体ダイナミクス方程式を満たす場合にのみ有限であり、それ以外の場合は無限大である。
• 大偏差原理は、右連続で左極限を持つ関数の空間におけるペア (X^n, Y^n) に対して成り立ち、率関数 I_T は状態ダイナミクスを満たす制御過程の下での下界として定義される。