[論文レビュー] Large deviations for velocity-jump processes and non-local Hamilton-Jacobi equations

Émeric Bouin, Vincent Calvez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ガウス型再配向を伴う速度ジャンプ過程に対して大偏差原理を確立し、速度空間における非局所性を有する非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式を導出する。可視性解の枠組みを導入し、Fokker-Planck方程式の対数変換の収束を証明し、区分的線形経路による変分公式を提供することで、キネティックFisher-KPPモデルにおけるフロント加速の正確な計算が可能になる。

ABSTRACT

We investigate a simple velocity jump process in the regime of large deviation asymptotics. New velocities are taken randomly at a constant, large, rate from a Gaussian distribution with vanishing variance. The Kolmogorov forward equation associated with this process is the linear BGK kinetic transport equation. We derive a new type of Hamilton-Jacobi equation which is nonlocal with respect to the velocity variable. We introduce a suitable notion of viscosity solution, and we prove well-posedness in the viscosity sense. We also prove convergence of the logarithmic transformation towards this limit problem. Furthermore, we identify the variational formulation of the solution by means of an action functional supported on piecewise linear curves. As an application of this theory, we compute the exact rate of acceleration in a kinetic version of the celebrated Fisher-KPP equation in the one-dimensional case.

研究の動機と目的

• 速度ジャンプ過程の大きな偏差漸近的性質を分析すること。
• パラメータ $1/\varepsilon$ の割合でガウス型再配向が行われる過程において、$\varepsilon \to 0$ の極限における対数変換 $u^\varepsilon = -\varepsilon \log f^\varepsilon$ の極限を支配する非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式を導出すること。
• 速度変数における非局所性を有する非局所的ハミルトニアン・ジャコビ問題に対して、可視性解理論を確立すること。
• 区分的線形曲線における作用関数の変分表現を用いて解を表現すること。
• この理論を用いて、キネティックFisher-KPP方程式におけるフロント加速の正確な速度を計算すること。

提案手法

• スケーリング $ (t/\varepsilon, x/\varepsilon^{3/2}, v/\varepsilon^{1/2}) $ を用いて、BGK型キネティック方程式の大偏差極限を導出する。
• 極限問題として、非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $ \max\left(\partial_t u + v\cdot\nabla_x u -1, u - \min_{v'} u - |v|^2/2\right) = 0 $ を得る。
• 速度空間における非局所構造に適合した、下位解および上位解の定義に基づく可視性解の枠組みを導入する。
• 区分的線形速度経路に対して、作用関数 $ \mathcal{A}_0^t[\dot\gamma] = \frac{1}{2}\sum_{\sigma \in \dot\Gamma_*} |\sigma|^2 + \mathrm{Leb}\{s: \dot\gamma(s) \neq 0\} $ を構築する。
• 比較原理とコンパクトネスの議論を用いて、$ u^\varepsilon $ が極限方程式の可視性解に局所一様位相で収束することを証明する。
• 変分公式 $ u(t,x,v) = \inf_{\gamma} \left\{ \mathcal{A}_0^t[\dot\gamma] + u_0(\gamma(0), \dot\gamma(0)) \right\} $ を適用し、キネティックFisher-KPPモデルにおけるフロント速度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散がゼロに近づく再配向を伴う速度ジャンプ過程において、大偏差原理はどのように現れるか？
• RQ2 このような過程において $ \varepsilon \to 0 $ の極限において、制限されるハミルトニアン・ジャコビ方程式の構造は何か？
• RQ3 速度空間における非局所性を有する非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、可視性解理論を構築できるか？
• RQ4 区分的線形軌道に基づく解の変分的表現は何か？
• RQ5 このスケーリング下で、キネティックFisher-KPP方程式におけるフロント加速の正確な速度は何か？

主な発見

• 極限方程式は、速度変数における非局所性を有する非局所的ハミルトニアン・ジャコビ方程式であり、速度ジャンプ過程の大偏差から生じる。
• 下位解および上位解の定義と比較原理を含む、非局所問題に対する可視性解理論が厳密に確立された。
• 解は、区分的線形曲線の上での作用関数の下界としての変分的表現を有し、非ゼロの速度ジャンプごとにコスト $ \frac{1}{2}|\sigma|^2 $ と、時間単位あたりの単位コストを有する。
• $ u^\varepsilon = -\varepsilon \log f^\varepsilon $ が極限方程式の可視性解に局所一様位相で収束することが証明された。
• この理論により、キネティックFisher-KPP方程式におけるフロント加速速度の正確な計算が可能になり、キネティックフロント伝播における長年の未解決問題が解決された。
• 作用関数および変分公式が、注意深く構築されたテスト関数を用いた比較議論により、可視性解と同等であることが示された。