[論文レビュー] Large deviations of empirical measures of zeros on Riemann surfaces

Steve Zelditch|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、種数 $ g \geq 1 $ のコンpactリーマン面に倣う線束のランダムな正則セクションの零点の経験的測度に対する大偏差原理（LDP）を確立する。これは、$ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ からの以前の結果を種数がより高い場合に一般化したものである。ヴァイエルシュトラス型測度（ボゾニゼーションの高種数版、ヴァンデルモンド行列式の類似、プライム形式、グリーン関数を含む）を用いて、ビタリアンモジュライ空間（射影化されたピカードバンドル）上にガウス型測度を定義し、ゼロ点の共同確率密度（JPC）を計算することで、LDPの明示的レート関数が得られる。

ABSTRACT

This is a continuation of a project on large deviations for the empirical measures of zeros of random holomorphic sections of random line bundles over a Riemann surface X. In a previous article with O. Zeitouni (arXiv:0904.4271), we proved an LDP for random polynomials in the genus zero case. In higher genus, there is a Picard variety of line bundles and so the line bundle L is a random variable as well as the section s. The space of pairs (L, s) is known as the "vortex moduli space". The zeros of (L, s) fill out the configuration space $X^{(N)}$ of $N$ points of $X$. The LDP shows that the configurations concentrate at one equilibrium measure exponentially fast. The new features of the proof involve Abel-Jacobi theory, the prime form and bosonization.

研究の動機と目的

• 種数 0（リーマン球面）における零点の経験的測度に対する大偏差原理（LDP）を、種数 $ g \geq 1 $ のコンパクトリーマン面へと拡張すること。
• 次数 $ N $ の線束の正則セクションの全空間上にガウス型確率測度を定義・解析すること。ここで、$ \mathrm{Pic}^N $ と表される $ g $ 次元のピカード多様体をパラメータとして変化させる。
• ゼロ点の共同確率密度（JPC）を、$ X^{(N)} = \mathrm{Sym}^N X $ 上の体積形式として計算すること。これには、高種数特有の特殊関数（プライム形式、グリーン関数など）を用いる。
• ランダムセクションの零点集合としての $ N $ 個の点の配置が、$ N \to \infty $ の極限において現れる確率の漸近的挙動を支配する明示的レート関数を導出すること。
• 射影化されたピカードバンドル $ \mathbb{P}\mathcal{E}^N $ と配置空間 $ X^{(N)} $ の間の解析的同型を確立し、測度を経験的測度へと押し上げることを可能にする。

提案手法

• 線束上のヘルミート計量に関する $ L^2 $ ノルムを用いて、$ \mathcal{E}^N = \bigcup_{\xi \in \mathrm{Pic}^N} H^0(X, \xi) $ 上にガウス型測度を定義する。
• セクション空間を射影化し、$ \mathbb{P}\mathcal{E}^N $ を得る。ここで、ファイバーにはFubini-Study体積形式、底空間 $ \mathrm{Pic}^N $ にはハール測度を導入し、Fubini-Studyファイバー・エンsembles を形成する。
• ボゾニゼーション公式（プライム形式 $ E(z,w) $、グリーン関数、シグマ特性を含む）を用いて、$ X^{(N)} $ 上の体積形式としての共同確率密度（JPC）$ \vec{K}^N $ を計算する。
• JPC をグリーン関数の積およびプライム形式を含む行列式の積として表現し、種数 0 のヴァンデルモンド型行列式の一般化を行う。
• JPC のチャーン形式表現を用いて、モジュライ空間上の曲率形式および特徴類と関連付ける。
• JPC の対数的漸近挙動を解析することで、$ \mathcal{M}(X) $ 上のエネルギー関数の変分公式を含むレート関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム正則セクションの零点分布に対する大偏差原理（LDP）は、種数 0 から高種数リーマン面へどのように拡張されるか？
• RQ2 種数 $ g \geq 1 $ の曲面上の線束のランダムセクションに対して、$ X^{(N)} $ 上のゼロ点の共同確率密度（JPC）の明示的形は何か？
• RQ3 高種数におけるヴァンデルモンド行列式の類似物および特殊関数（プライム形式、グリーン関数）は、JPC の計算にどのように関与するか？
• RQ4 ピカード多様体 $ \mathrm{Pic}^N $ は、零点集合の統計力学において果たす役割は何か？また、$ X^{(N)} $ 上の測度にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $ N \to \infty $ の漸近的挙動に基づき、JPC から LDP のレート関数はどのように導出されるか？

主な発見

• 本稿は、種数 $ g \geq 1 $ のコンパクトリーマン面におけるランダム正則セクションの零点の経験的測度 $ \mu_\zeta = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \delta_{\zeta_j} $ に対する大偏差原理（LDP）を確立する。
• ゼロ点の共同確率密度（JPC）$ \vec{K}^N $ は、$ X^{(N)} $ 上の体積形式として明示的に計算され、グリーン関数の積およびプライム形式 $ E(z,w) $ を含む。これは、種数 0 の場合の一般化である。
• JPC がモジュライ空間上の決定的線束に関連するチャーン形式として表現可能であることが示され、曲率および特徴類と関連づけられる。
• JPC の対数的漸近挙動を解析することで、$ X $ 上の確率測度の上でのエネルギー関数の変分公式を含むレート関数が導出される。
• 著者らは、$ \mathbb{P}\mathcal{E}^N $ 上のFubini-Studyファイバー・エンsembles が、ボゾニゼーションの自然な確率測度であると特定し、零点集合写像により、$ X^{(N)} $ と解析的に同型であることを示す。
• 計算は、高種数リーマン面理論におけるボゾニゼーション公式に依拠しており、特に、自動的因子および特性付きtheta関数を用いて、$ \mathrm{Pic}^N $ の非自明な位相的性質を扱う。