[論文レビュー] Large deviations of subgraph counts for sparse Erd\H{o}s--R\'enyi graphs

Nicholas A. Cook, Amir Dembo|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、スパースな Erdős–Rényi ランダムグラフにおける部分グラフカウントの鋭い大偏差漸近挙動を確立し、大偏差領域に適した Szemerédi の正則性補題およびカウント補題の定量的バージョンを導入する。任意の固定グラフ $ H $ のホモモルフィズムカウントの上側尾根確率の主要項指数的レートを証明し、先行研究より改善されたスパース性の閾値を達成しており、$ ho(H) = 1/2 $ のサイクルカウントでは最適性を達成する。

ABSTRACT

For any fixed simple graph $H=(V,E)$ and any fixed $u>0$, we establish the leading order of the exponential rate function for the probability that the number of copies of $H$ in the Erd\\H{o}s--R\\'enyi graph $G(n,p)$ exceeds its expectation by a factor $1+u$, assuming $n^{-\\kappa(H)}\\ll p\\ll1$, with $\\kappa(H) = 1/(2\\Delta)$, where $\\Delta\\ge 1$ is the maximum degree of $H$. This improves on a previous result of Chatterjee and the second author, who obtained $\\kappa(H)=c/(\\Delta|E|)$ for a constant $c>0$. Moreover, for the case of cycle counts we can take $\\kappa$ as large as $1/2$. We additionally obtain the sharp upper tail for Schatten norms of the adjacency matrix, as well as the sharp lower tail for counts of graphs for which Sidorenko's conjecture holds. As a key step, we establish quantitative versions of Szemer\\'edi's regularity lemma and the counting lemma, suitable for the analysis of random graphs in the large deviations regime.

研究の動機と目的

• スパースな Erdős–Rényi グラフ $ G(n,p) $ において $ p o 0 $ のとき、ホモモルフィズムカウントの上側尾根問題を解明すること。
• 大偏差におけるスパースなランダムグラフに適した、Szemerédi の正則性補題およびカウント補題の定量的バージョンを開発すること。
• Chatterjee と Dembo の先行結果を超えて、鋭い漸近挙動が知られている上側尾根確率のスパース性閾値 $ p o 0 $ を改善すること。
• スチューデントノルムのスパースな領域における上側および下側尾根推定を、隣接行列のスチャッテン $ eta $-ノルムおよび Sidorenko の予想を満たすグラフに対して確立すること。
• グラフ理論を越えて、例えばスパースなランダム集合における等差数列への応用を含む、一般化可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• スパースグラフの大偏差に適した、部の数および $ ho $-正則性に関する明示的バウンドを備えた定量的正則性補題を導入すること。
• スパース性および $ ho $-正則性の下で、ホモモルフィズムカウントの近似誤差を制御する定量的カウント補題を構築すること。
• 正則性補題およびカウント補題を用いて、スパース領域における上側尾根確率 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1+u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ を分析すること。
• 二項分布の大偏差原理および隣接行列の要素に対するエントロピーに基づくバウンドを用いて、尾根事象を制御すること。
• 作用素ノルムおよびトレース不等式を通じて、ホモモルフィズムカウントの上側尾根と隣接行列のスチャッテン $ eta $-ノルムとの間に接続を確立すること。
• Sidorenko の予想を活用して、エントロピー最小化および行列集中を用いて、予想を満たすグラフのための鋭い下側尾根推定を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースな Erdős–Rényi グラフにおける上側尾根確率 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1+u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ の鋭い漸近的レートは何か？
• RQ2 大偏差におけるスパースなランダムグラフに適した、Szemerédi の正則性補題およびカウント補題の定量的バージョンを構築できるか？
• RQ3 大偏差レートが鋭いとされる最適なスパース性閾値 $ p = n^{-c} $ は何か？ これは $ H $ の構造にどのように依存するか？
• RQ4 スパース領域における隣接行列のスチャッテンノルムの上側および下側尾根はどのように振る舞うか？
• RQ5 この枠組みを、Sidorenko の予想を満たすグラフのための鋭い尾根推定を導出するために拡張できるか？

主な発見

• 任意の固定された単純グラフ $ H $ に対して、$ p o 0 $ の下で $ G(n,p) $ における $ ext{hom}(H,G) $ の上側尾根の主要項指数的レートを確立し、$ n^{- ho(H)} o 0 $ かつ $ ho(H) = 1/(2 riangle) $ の条件下で成立する。ここで $ riangle $ は $ H $ の最大次数を表す。
• スパース性の閾値 $ ho(H) = 1/(2 riangle) $ は、Chatterjee と Dembo が示した以前の境界 $ ho(H) = c/( riangle |E|) $（$ c>0 $）を改善する。
• サイクルカウント $ ext{hom}( extsf{C}_ au, G) $ に対して、本手法は最適な閾値 $ ho(H) = 1/2 $ を達成しており、これが最良であると予想されている。
• 隣接行列のスチャッテン $ eta $-ノルムの鋭い上側尾根漸近挙動を導出し、レート関数が $ q = sp $、$ s o 0 $ の下で $ inom{n}{2} I_p(q) $ と漸近的に等価であることを示した。
• Sidorenko の予想を満たすグラフ $ H $ に対して、$ bP( ext{hom}(H,G) o (1-u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ の鋭い下側尾根推定を取得し、レート関数がエントロピーに基づく下界と一致することを示した。
• 定量的正則性補題およびカウント補題が、スパース性下でも適切にスケーリングされる明示的誤差バウンドを備えており、大偏差解析に有効であることが示された。