[論文レビュー] Nonlinear large deviation bounds with applications to traces of Wigner matrices and cycles counts in Erdös-Renyi graphs

Fanny Augeri|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、2階微分可能性を要件としない一般の分布に対する非線形大偏差境界を、凸解析とラプラス双対性を用いて確立する。これらの境界を応用して、Wigner行列のトレースおよびスパースな Erdős–Rényi グラフにおけるサイクル数の鋭い上側尾部確率を、臨界的なスパarsity閾値 $ n^{-1/2} $ まで導出し、既存の結果を改善するとともに、サブガウス型 Wigner 行列におけるレート関数の普遍性を確立する。

ABSTRACT

We prove general nonlinear large deviation estimates similar to Chatterjee-Dembo's original bounds except that we do not require any second order smoothness. Our approach relies on convex analysis arguments and is valid for a broad class of distributions. Our results are then applied in three different setups. Our first application consists in the mean-field approximation of the partition function of the Ising model under an optimal assumption on the spectra of the adjacency matrices of the sequence of graphs. Next, we apply our general large deviation bound to investigate the large deviation of the traces of powers of Wigner matrices with sub-Gaussian entries, and the upper tail of cycles counts in sparse Erdös-Renyi graphs down to the connectivity threshold $n^{-1/2}$.

研究の動機と目的

• 関数の2階微分可能性を要件としない一般の非線形大偏差推定を構築し、Chatterjee-Dembo の枠組みを拡張すること。
• 下位のスペクトル的仮定を満たすグラフ上で、イジング模型の分配関数の平均場近似を拡張すること。
• サブガウス型エントリをもつ Wigner 行列のトレースの大偏差挙動を分析し、レート関数の普遍性を証明すること。
• スパースな Erdős–Rényi グラフにおけるサイクル数の上側尾部確率を、スパarsity閾値 $ n^{-1/2} $ まで鋭く推定すること。既存の境界を改善する。
• 非漸近的大偏差境界における滑らかさ依存誤差項を除去し、より低い偏差速度およびスパarsityレベルでの解析を可能にすること。

提案手法

• 関数の $ C^2 $ スムーズ性を要件としない一般の確率測度に対する大偏差境界を、凸解析とラプラス双対性を用いて導出する。
• 累積生成関数 $ ilde{ heta} $ とレート関数 $ ilde{ heta}^* $ の間の関係を、ラプラス変換 $ abla \to abla^* $ を用いて確立し、勾配の鋭さおよび本質的スムーズ性の性質を活用する。
• トレース関数 $ \text{tr}(X^d) $ の複雑さを低減するために切断操作を適用し、所定の $ k $ を用いてその勾配を $ O(nk\bar{log} n) $ ビットで符号化する。
• ランクが $ \text{rank}(H) \leq 2k $ かつ $ \|H\| \leq 2dn^{d-1} $ であるような低ランク・有界ノルム行列 $ W $ の被覆数推定を用いて、切断関数のリプシッツ定数を制御する。
• 非漸近的大偏差境界（命題 1.5）を、サポートのタイトネス条件とともに適用し、$ \tilde{ heta}^* $-ベースの集中と対数被覆数を用いる。
• サブガウス型尾部仮定とスペクトル制御に依拠して、ガウス型アンサンブルとの比較により、Wigner 行列におけるレート関数の普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の分布に対して、関数の2階微分可能性を要件としない大偏差境界を確立できるか？
• RQ2 サブガウス型エントリをもつ Wigner 行列のべき乗のトレースの正確な大偏差挙動は何か？
• RQ3 臨界的なスパarsityレベル $ n^{-1/2} $ におけるスパースな Erdős–Rényi グラフにおけるサイクル数の上側尾部確率は何か？
• RQ4 完全グラフを超える一般のスペクトル的性質をもつグラフに対して、イジング模型の分配関数の平均場近似を拡張できるか？
• RQ5 非線形大偏差境界における誤差項をどのように改善すれば、より低い偏差速度およびスパarsityレベルでの解析が可能になるか？

主な発見

• 本稿は、$ C^2 $ スムーズ性を要件としない一般の分布に対する非線形大偏差境界を確立し、Chatterjee-Dembo や Yan の結果を改善し、滑らかさ依存誤差項を除去した。
• サブガウス型エントリをもつ Wigner 行列に対して、$ X^d $ のトレースのレート関数はそのクラス全体で普遍的であり、対数補正項を除いて鋭い尾部境界が得られる。
• Erdős–Rényi グラフにおけるサイクル数の上側尾部確率は、スパarsity閾値 $ n^{-1/2} $ まで推定され、三角形に関する Cook と Dembo の結果を改善した。
• 隣接行列がスペクトル的仮定を満たすグラフ列に対して、イジング模型の分配関数の平均場近似が拡張された。スターマッチを含む例も含まれる。
• 切断に基づく手法により、$ \text{tr}(X^d) $ の勾配の複雑さが $ O(nk\bar{log} n) $ ビットに低減され、$ \bar{log}^4(1/p) = o(k) $ かつ $ k = o(np^2) $ を満たす $ k $ に対して大偏差境界の適用が可能になった。
• レート関数 $ \tilde{ heta}^* $ が下半連続かつ強凸であることが示され、ラプラス双対性フレームワークの有効性と勾配写像の可逆性が保証された。