[論文レビュー] Large Deviations Optimal Scheduling of Closed Queueing Networks

Siddhartha Banerjee, Yash Kanoria+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 55被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、固定されたジョブ数を有する閉鎖型キューイングネットワークに対して、スループットを最大化するためのスケーリング付きMaxWeight（SMW）スケジューリング方策を提案する。完全リソースプール（CRP）条件下では、すべてのSMW方策がジョブ数が増加するに従い、スループット損失確率の指数的減少を保証する。顕著な点として、サービスレートとルーティング確率によって決定される、最良の可能な損失指数を達成する最適なSMW方策が存在する。

ABSTRACT

We study the design of dynamic scheduling controls in closed queueing networks with a fixed number of jobs. Each time a server becomes available, the controller has (limited) flexibility in choosing the buffer from which to serve a job. If no jobs are available at any compatible buffer, the server idles. If the job is served, it relocates to a ``destination'' buffer. We study how to maximize throughput in steady state via a large deviations analysis. We propose a family of simple state-dependent policies called Scaled MaxWeight (SMW) policies that dynamically manage the distribution of jobs in the network. We prove that under a complete resource pooling condition (analogous to the condition in Hall's marriage theorem), any SMW policy leads to exponential decay of throughput-loss probability as the number of jobs scales to infinity. Further, there is an SMW policy that achieves the optimal loss exponent among all scheduling policies, and we analytically specify this policy in terms of the service rates and routing probabilities. The optimal SMW policy maintains high job levels adjacent to structurally under-supplied servers. Our methodology also applies to the open network setting and leads to exponent-optimal policies.

研究の動機と目的

• 制御の柔軟性が限られる閉鎖型キューイングネットワークにおけるジョブ分配の不一致問題に取り組む。
• 構造的アンバランスと確率的ばらつきの両方を扱える動的スケジューリング方策を設計し、スループット損失率が緩やかまたは消えない状態に陥る状態独立型方策を改善する。
• 大偏差解析を用いて、すべての動的方策の中でスループット損失指数を最小化する最適スケジューリング方策を同定する。
• MaxWeight方策を、性能保証が可能な状態依存的スケーリング付きMaxWeight（SMW）方策の族へ一般化する。
• 解析をオープンネットワーク設定へ拡張し、閉鎖型およびオープン型システムの両方において指数最適方策を導出する。

提案手法

• バッファ固有のスケーリング係数をパrameterとする状態依存的スケーリング付きMaxWeight（SMW）方策の族を提案し、ジョブ分配の動的バランスを図る。
• ジョブ数K → ∞ の際のスループット損失確率の指数的減少率を特定するために、大偏差解析を適用する。
• 構造的不足供給に起因するジョブレベルに基づくリャプノフ関数を導入し、システム安定性およびレアイベント確率の解析に用いる。
• サイクル分解とリニューアル報酬論法を用いて、損失の定常確率を評価し、リャプノフ関数の負のドリフトおよびリプシッツ連続性に依存する。
• リャプノフ関数のスケール不変性を活用し、大偏差率問題を1次元の変分問題に還元することで、最適方策の解析的特徴付けを可能にする。
• 微分ゲームの定式化を用いて損失指数の下界を導出し、ジョブ不均衡に至る最小コスト経路（「理想の敵対者」経路）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存的スケジューリング方策は、固定ジョブ数を有する閉鎖型キューイングネットワークにおいて、スループット損失確率の指数的減少を達成可能か？
• RQ2 完全リソースプール（CRP）条件下で、すべての動的方策の中で損失指数を最大にする最適スケジューリング方策は何か？
• RQ3 構造的アンバランスと確率的ばらつきは、閉鎖型ネットワークにおけるスケジューリング方策の性能にどのように影響を与えるか？
• RQ4 最適方策は、サービスレートとルーティング確率の観点から解析的に特徴付け可能か？
• RQ5 提案手法はオープンネットワーク設定へ拡張可能であり、指数最適方策を導出可能か？

主な発見

• すべてのスケーリング付きMaxWeight（SMW）方策は、ジョブ数K → ∞ の際、完全リソースプール（CRP）条件下でスループット損失確率の指数的減少を保証する。
• すべての動的スケジューリング方策の中で最適な損失指数を達成するSMW方策が存在し、この方策はサービスレートとルーティング確率によって解析的に特徴付けられる。
• 最適SMW方策は、構造的に供給不足の状態にあるサーバーに近接する高いジョブレベルを維持し、分配のアンバランスを効果的に是正する。
• リャプノフ関数のスケール不変性により、損失確率の大偏差率関数が1次元の変分問題に簡略化される。
• 最適方策の指数は、ジョブ不均衡に至る最小コスト経路をモデル化する微分ゲームを解くことで決定され、コスト関数はサービストークン到着レートのレジェンドル＝フェンケル変換から導出される。
• 解析はオープンネットワークへも拡張可能であり、同様に指数最適スケジューリング方策が得られる。