[論文レビュー] Large Qudit Limit of One-dimensional Quantum Walks

Mitsunori Sato, Naoki Kobayashi+2 more|ArXiv.org|Feb 14, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スピン-j系を用いた1次元離散時間量子ウォークの大型クワイド極限を調査し、スピン量子数 $j \to \infty$ のとき、擬似速度の極限分布が多峰性構造からゼロを中心とする普遍的で単調かつ凸な形状に移行することを示している。解析により、量子から古典への転移が明らかとなり、大-$j$極限において系は拡散的挙動に近づく。これは、大型クワイド極限を経由した量子ウォークから古典的拡散への道筋を示唆する。

ABSTRACT

We study a series of one-dimensional discrete-time quantum-walk models labeled by half integers $j=1/2, 1, 3/2, ...$, introduced by Miyazaki {\it et al.}, each of which the walker's wave function has $2j+1$ components and hopping range at each time step is $2j$. In long-time limit the density functions of pseudovelocity-distributions are generally given by superposition of appropriately scaled Konno's density function. Since Konno's density function has a finite open support and it diverges at the boundaries of support, limit distribution of pseudovelocities in the $(2j+1)$-component model can have $2j+1$ pikes, when $2j+1$ is even. When $j$ becomes very large, however, we found that these pikes vanish and a universal and monotone convex structure appears around the origin in limit distributions. We discuss a possible route from quantum walks to classical diffusion associated with the $j o \infty$ limit.

研究の動機と目的

• スピン量子数 $j$ が大きくなる際の1次元量子ウォークにおける擬似速度の漸近的挙動を理解すること。
• スピン-$j$ 量子ウォークの $2j+1$ 成分系における、$j \to \infty$ 極限での擬似速度の極限分布を分析すること。
• 量子ウォークの大-$j$ 極限が、拡散的挙動を示すかどうかを調査し、量子から古典への遷移を示唆すること。
• 重み関数 $\mathcal{M}^{(j,m)}(x)$ の漸近的形を導出し、コンノの密度関数の重ね合わせにおいて分析すること。

提案手法

• 本研究は、$\mathbb{Z}$ 上の離散時間量子ウォークの族を用い、半整数スピン $j = 1/2, 1, 3/2, \dots$ をパラメータとして、$2j+1$ 個の内部状態を持つ。
• 量子コインは、ユニタリ性とスピン-$j$ 構造を保証するWignerの回転行列（オイラー角 $\alpha, \beta, \gamma$ を用いて）により実装される。
• 擬似速度の極限分布は、スケーリングされたコンノの密度関数 $\mu(v; \cos(\beta/2))$ の重ね合わせとして表現され、多項式 $\mathcal{M}^{(j,m)}(v/2m)$ を重み関数として用い、奇数 $2j+1$ の場合にはゼロにおけるデルタ関数が追加される可能性がある。
• 大$ j $における $\mathcal{M}^{(j,m)}(x)$ の漸近的解析は、母関数およびWigner $6j$-記号から導かれる組合せ的恒等式を用いて行われる。
• 重み関数の振る舞いを大$ j \to \infty $ 極限で調べ、得られる擬似速度分布の形状を特定する。
• 大$ j $領域におけるボールスティックから拡散的スケーリングへの転移を調査するため、スケーリングのアンサツ $X_t^{(j)} \sim jt F(t/j^\theta)$ を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン量子数 $j$ が $2j+1$ 成分量子ウォークにおいて大きくなるにつれて、擬似速度の極限分布はどのように変化するか？
• RQ2 $2j+1$ が有限の偶数である場合に見られる $2j+1$ 個のピークは、$j \to \infty$ 極限で消えるか？
• RQ3 大$ j $極限における量子ウォークの擬似速度分布に、普遍的で単調かつ凸な構造が現れるか？
• RQ4 大$ j $極限は、古典的拡散過程として解釈可能か？ もしそうならば、どのようなスケーリング領域がこれに対応するか？

主な発見

• 有限の $j$ に対して、$2j+1$ が偶数のとき、非自明な重み関数を伴うコンノの密度関数の重ね合わせにより、擬似速度の極限分布は $2j+1$ 個のピークを示す。
• $j \to \infty$ のとき、ピークは消失し、極限分布はゼロを中心とする普遍的で単調かつ凸な構造をとるようになる。これは、離散的ピーク構造の喪失を示している。
• 大$ j $極限において、重み関数 $\mathcal{M}^{(j,m)}(x)$ は非常に広がり、滑らかになる。その結果、擬似速度分布は広がり、凸なプロファイルをとるようになる。
• 大$ j $極限は、量子から古典への転移を示唆しており、適切な時空スケーリングの下で、系の挙動が拡散的スケーリングに近づく。
• スケーリング指数 $\theta$ が $\theta = 2$ を満たすとき、極限分布の漸近的形は古典的拡散と整合的であり、大$ t $領域では $X_t^{(j)} \sim j^{3/2} \sqrt{t}$ となる。
• 大$ j $極限における凸的で滑らかな分布の出現は、大きなスピン系が、個々の量子ウォークがボールスティック的であるにもかかわらず、古典的拡散を模倣できることを支持する。