[論文レビュー] Large scale behaviour of the spatial -Fleming-Viot process

N. Berestycki, Route de Saclay+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、R^d における2つの遺伝的タイプを有する空間的 Λ-Fleming-Viot過程のスケーリング極限における大規模な挙動を研究し、スケーリング下でのアレル頻度ダイナミクスに注目する。アノセストリーが指数 α ∈ (1,2] の対称安定過程に収束するとき、α=2（d≥2）では極限アレル頻度過程は決定的であるが、α<2 では確率的にランダムであり、指標関数に似た性質を示し、共役する安定過程の集合が定義するランダム集合に対応する。

ABSTRACT

We consider the spatial �-Fleming-Viot process model ([BEV10]) for frequencies of genetic types in a population living in R d , in the special case in which there are just two types of individual, labelled 0 and 1. At time zero, everyone in the half-space consisting of points whose first coordinate is non-positive is type 1, whereas everyone in the complementary half-space is of type 0. We are concerned with patterns of frequencies of the two types at large space and time scales. We consider two cases, one in which the dynamics of the process are driven by purely ‘local’ events and one incorporating large-scale extinction recolonisation events. We choose the frequency of these events in such a way that, under a suitable rescaling of space and time, the ancestry of a single individual in the population converges to a symmetric stable process of index α ∈ (1,2] (with α = 2 corresponding to Brownian motion). We consider the behaviour of the process of allele frequencies under the same space and time rescaling. For α = 2, and d ≥ 2 it converges to a deterministic limit. In all other cases the limit is random and we identify it as the indicator function of a random set. In particular, there is no local coexistence of types in the limit. We characterise the set in terms of a dual process of coalescing symmetric stable processes, which is of interest in its own right. The complex geometry of the random set is illustrated through simulations.

研究の動機と目的

• R^d における2系統の空間的 Λ-Fleming-Viot過程の、大規模な空間的・時間的挙動を理解すること。
• 局所的ダイナミクスと大規模な絶滅・再定着のイベントという、異なるタイプの遺伝的イベントが、長期的なアレル頻度パターンに与える影響を分析すること。
• 空間的・時間的スケーリングを同時に施した場合のアレル頻度過程の極限挙動を特定すること、特に祖先線が対称安定過程に収束する場合に注目すること。
• 特に α<2 の場合に、タイプが共存する極限におけるランダム集合の幾何的性質を同定すること。
• アレル頻度過程と、共役する対称安定過程の集合の間の双対性を確立し、確率過程への新しい接続を提供すること。

提案手法

• 人口を、半空間上でステップ関数として初期化された2種類のタイプ（0 と 1）を持つ空間的 Λ-Fleming-Viot過程としてモデル化する。
• 空間と時間をスケーリングし、1人の個体の祖先過程が、α ∈ (1,2] の対称 α-安定過程（α=2 の場合にブラウン運動を含む）に収束するようにする。
• アレル頻度過程と、共役する対称 α-安定過程の集合との双対性を用いて、極限挙動を特徴付ける。
• 同じスケーリング下でのアレル頻度過程の極限を分析し、α=2 と α<2 の場合を区別する。
• 確率解析とスケーリング極限を用いて、アレル頻度過程が α=2 の場合に決定的極限に収束すること、α<2 の場合にランダムな指標関数に収束することを導出する。
• シミュレーションを用いて、α<2 の場合における極限ランダム集合の複雑な幾何的構造を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な絶滅・再定着イベントは、空間的集団モデルにおける2つの遺伝的タイプの長期的空間的分布にどのように影響を与えるか？
• RQ2 祖先線が対称 α-安定過程に収束する場合、空間的・時間的スケーリングを同時に施したアレル頻度過程の極限挙動は何か？
• RQ3 α<2 の場合、タイプの局所的共存は極限でも持続するのか、それとも1つのタイプがグローバルに優位を占めるのか？
• RQ4 共役する対称安定過程の集合による双対過程を用いて、タイプが存在する極限ランダム集合の幾何的性質をどのように特徴付けることができるか？
• RQ5 空間的構造と共存の観点から、決定的極限（α=2）とランダムで指標関数型の極限（α<2）の間には、どのような相違が生じるか？

主な発見

• α=2 かつ d≥2 の場合、スケーリングされたアレル頻度過程は決定的極限に収束し、安定的で予測可能な空間的パターンを示す。
• α<2 の場合、スケーリングされたアレル頻度過程は、ランダムな極限に収束し、それはランダム集合の指標関数である。これは、極限においてタイプの局所的共存が成立しないことを示唆する。
• 極限ランダム集合は、双対過程の共役する対称 α-安定過程の集合が時刻0に少なくとも1体の粒子を有する点の集合として特徴付けられる。
• アレル頻度過程と、共役する安定過程の集合との間の双対性により、極限ランダム集合の明示的かつ新しい表現が得られる。
• シミュレーションにより、α<2 の場合における極限ランダム集合に複雑でフラクタルに似た幾何的構造が確認され、安定運動の長距離依存性が反映されている。
• α=2 における決定的極限からランダム極限への遷移は、基礎となる安定過程のパスの性質に関連する臨界的閾値を示している。