[論文レビュー] Large-scale Quantum Approximate Optimization via Divide-and-Conquer

Junde Li, Mahabubul Alam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、分割統治型QAOA（DC-QAOA）を提案する。これは、大規模MaxCutグラフをNISQデバイスで解ける小さな部分グラフに再帰的に分割し、量子状態再構成によってグローバル解を再構築するハイブリッド量子古典アルゴリズムである。DC-QAOAは時間計算量を指数的から二次的へ削減し、97.14%の近似比を達成。これは古典的手法よりも20.32%高い。期待値は94.79%で、量子アニーリングを15.80%上回る。

ABSTRACT

Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is a promising hybrid quantum-classical algorithm for solving combinatorial optimization problems. However, it cannot overcome qubit limitation for large-scale problems. Furthermore, the execution time of QAOA scales exponentially with the problem size. We propose a Divide-and-Conquer QAOA (DC-QAOA) to address the above challenges for graph maximum cut (MaxCut) problem. The algorithm works by recursively partitioning a larger graph into smaller ones whose MaxCut solutions are obtained with small-size NISQ computers. The overall solution is retrieved from the sub-solutions by applying the combination policy of quantum state reconstruction. Multiple partitioning and reconstruction methods are proposed/ compared. DC-QAOA achieves 97.14% approximation ratio (20.32% higher than classical counterpart), and 94.79% expectation value (15.80% higher than quantum annealing). DC-QAOA also reduces the time complexity of conventional QAOA from exponential to quadratic.

研究の動機と目的

• 大規模な組み合わせ最適化問題における従来のQAOAのキュービットスケーラビリティ制限に対処すること。
• 大規模グラフを解ける小さな部分グラフに分割することで、QAOAの指数的時間計算量を克服すること。
• 部分解をエンタングルメントのオーバーヘッドなしに統合してグローバル解を構築するための量子状態再構成ポリシーの開発。
• ベンチマーク用MaxCutインスタンスにおいて、DC-QAOAの性能を古典的ソルバーおよび量子アニーリングと比較すること。
• 解の品質と効率を最大化するためのアルゴリズムパラメータ（例：測定回数、保持する状態数）の最適化。

提案手法

• 大規模グラフ分割（LGP）ポリシーを適用し、共有ノードが少なく、クロスエッジのない部分グラフに再帰的に大規模グラフを分割することで、各部分グラフで独立にQAOAを実行可能にする。
• 共有ノードを段階的に増加させつつクロスエッジを回避するナーブLGPヒューリスティックを用い、有効なノード分離パスを特定する。
• 量子状態再構成（QSR）ポリシーを実装し、共通ノードにおけるカットセットの一貫性に基づいて、部分解の測定分布を統合する。
• 部分グラフからの高頻度の解文字列を組み合わせることで、元のグラフの完全な量子状態を再構成する。最小頻度や確率の積といった基準を用いる。
• 変分量子回路を用い、古典最適化により各部分グラフの最適なQAOAパラメータを特定した後、測定されたサンプリング分布を用いて状態再構成を実行する。
• 真のグローバル状態との相対Kullback–Leibler発散と期待値を用いて、再構成品質を評価する。

Figure 1: Finding MaxCut for a large-scale graph using the proposed DC-QAOA algorithm: (a) a graph with 10 nodes that is unsolvable on a small quantum computer (say with 6 qubits); (b) graph partitioning heuristic (proposed LGP policy) splits the larger graph into two subgraphs with almost equal num

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割統治アプローチは、大規模MaxCut問題における従来のQAOAのキュービットおよび時間計算量の制限を緩和できるか？
• RQ2 部分系の測定から得た量子状態再構成は、部分グラフ間のエンタングルメントなしにグローバル解を回復できるか？
• RQ3 グラフ分割の品質（ノードの重複度とクロスエッジ数）は、再構成解の正確さにどのような影響を及えるか？
• RQ4 大規模グラフインスタンスにおいて、DC-QAOAは古典的ソルバーおよび量子アニーリングと比較して、近似比と期待値で優れているか？
• RQ5 測定回数や保持する状態数といったパラメータ設定（例：t=20, k=7）は、実行時間の短縮と解の品質の両立をどのように達成するか？

主な発見

• DC-QAOAは、大規模グラフを解ける小さな部分グラフに分割することで、QAOAの時間計算量を指数的から二次的へ削減する。
• テストされたMaxCutインスタンスにおいて、97.14%の近似比を達成。これは古典的ランダムサーチよりも20.32ポイント高く、古典的対比手法を大きく上回る。
• DC-QAOAは94.79%の期待値を達成し、同じベンチマークグラフにおいて量子アニーリングを15.80%上回る。
• 十分なサンプリング（例：5000サンプル）により、DC-QAOAは一貫して近似的最適解を達成し、多数の実験設定で100%の近似比を達成する。
• ノード再重複度（NRL）指標により、分割時に共有ノードとクロスエッジを最小限に抑えることで、キュービットオーバーヘッドが低減され、再構成精度が向上することが確認された。
• 期待値と実行時間の両立を最適化するには、各部分グラフでt=20回の測定とk=7の保持量子基底状態数が最適である。

Figure 2: QAOA circuit after graph is mapped on a small quantum system for getting MaxCut solution. Gate parameters $(\gamma_{i},\beta_{i})$ are not shown here.