[論文レビュー] Large subgraphs in pseudo-random graphs

Anirban Basak, Shankar Bhamidi+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、エドős–レニーiランダムグラフに近い次数および共次数条件を満たす擬似ランダムグラフが、サイズがおおよそ ((1−δ)∧1/2−o(1))log n / log(1/p) 以下の部分グラフについて、G(n,p) と同様に漸近的に同じ数の誘導部分グラフコピーを持つことを確立している。この結果は、ランダム正則グラフ、ベクトル空間構成、指数的ランダムグラフモデルを含む広範なグラフクラスに対して成り立ち、特に二進体 F2 上のベクトル空間から構築されたグラフにおいては最適である。

ABSTRACT

We consider classes of pseudo-random graphs on $n$ vertices for which the degree of every vertex and the co-degree between every pair of vertices are in the intervals $(np - Cn^δ,np+Cn^δ)$ and $(np^2- C n^δ, np^2 +C n^δ)$ respectively, for some absolute constant $C$, and $p, δ\in (0,1)$. We show that for such pseudo-random graphs the number of induced isomorphic copies of subgraphs of size $s$ are approximately same as that of an Erdős-Réyni random graph with edge connectivity probability $p$ as long as $s \le (((1-δ)\wedge \frac{1}{2})-o(1))\log n/\log (1/p)$, when $p \in (0,1/2]$. When $p \in (1/2,1)$ we obtain a similar result. Our result is applicable for a large class of random and deterministic graphs including exponential random graph models (ERGMs), thresholded graphs from high-dimensional correlation networks, Erdős-Réyni random graphs conditioned on large cliques, random $d$-regular graphs and graphs obtained from vector spaces over binary fields. In the context of the last example, the results obtained are optimal. Straight-forward extensions using the proof techniques in this paper imply strengthening of the above results in the context of larger motifs if a model allows control over higher co-degree type functionals.

研究の動機と目的

• 次数と共次数の変動が有界な擬似ランダムグラフが、Erdős–Rényi ランダムグラフ G(n,p) の部分グラフ分布をどの程度模倣するかを特定すること。
• このような擬似ランダムグラフにおける誘導同型コピーの数が G(n,p) と漸近的に等しくなる最大の部分グラフサイズ s を特定すること。
• 固定サイズのモチーフにとどまらず、成長するサイズの部分グラフに対しても準ランダム性の基準を拡張すること。
• 二進体 F2 上のベクトル空間から構築されたグラフにおいて、境界が最適であることを示すこと。
• ランダムおよび決定的グラフの両方に適用可能な一般枠組みを提供すること。これには ERGM やしきい値付き相関ネットワークが含まれる。

提案手法

• 絶対定数 C および δ ∈ (0,1) を用いて、各頂点の次数が (np − Cn^δ, np + Cn^δ) に、各頂点対の共次数が (np² − Cn^δ, np² + Cn^δ) に収束するように、次数および共次数の集中を用いて擬似ランダムグラフを定義する。
• スペクトル的および組合せ的技法を用いて、このようなグラフにおけるサイズ s の部分グラフ H の誘導コピー数を評価する。
• モーメント法と包含除算法を用いて、G(n,p) における期待値と比較して部分グラフカウントの集中を確立する。
• ベクトル空間グラフ (G_n^b) の構造を活用し、クリークカウントの正確な漸近的評価を導出し、境界のタイトネスを示す。
• 確率的技法および F2 上の線形代数を用いて、G_n^b におけるクリークの数を数え上げる。直交補空間およびスパンに基づく構成を用いる。
• G_n^b において、2つのベクトルが隣接するとは、そのドット積が 2 を法として 0 であることを用い、補元写像 v ↦ 1 + v を用いて対称性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数および共次数の集中を満たす擬似ランダムグラフにおいて、どの部分グラフサイズ s に対して誘導コピー数が G(n,p) と一致するか。
• RQ2 固定サイズではなく、成長するサイズの部分グラフに対しても、G(n,p) と部分グラフカウントを一致させる準ランダム性の性質を拡張できるか。
• RQ3 次数および共次数の変動が有界なグラフにおいて、このような一致が成立する部分グラフのサイズの根本的限界は何か。
• RQ4 結果はランダム d-正則グラフ、ERGM、およびベクトル空間グラフなどの特定のモデルにどのように適用されるか。
• RQ5 導出された部分グラフサイズの境界は、あるクラスのグラフにおいて最適であり得るか。もしそうなら、どのモデルで成立するか。

主な発見

• p ∈ (0, 1/2] のとき、サイズ s が ((1−δ)∧1/2−o(1)) log n / log(1/p) 未満である限り、任意のサイズ s の部分グラフ H について、その誘導同型コピー数は G(n,p) と漸近的に等しくなる。
• p ∈ (1/2, 1) のときも同様の結果が成り立ち、境界はエッジ確率の対数スケールに依存する。
• F2 上の二進体ベクトル空間から構築されたグラフ G_n^b のクラスでは、境界がタイトである。この場合、サイズ t+t' のクリーク数は G(n,1/2) と漸近的に同等である。
• G_n^b において、サイズ t+t' のクリーク数は漸近的に ∼ 1/(t+t')! ⋅ n^{t+t'} ⋅ (1/2)^{t+t' choose 2} ⋅ ∏_{ℓ≥1}(1−1/4^ℓ) に比例する。これは G(n,1/2) の期待値と定数倍のオーダーで一致する。
• 定数 ∏_{ℓ≥1}(1−1/4^ℓ) は exp(−2/3) よりも大きい下界を持つため、漸近的同等性が非退化であることが保証される。
• 高階の共次数関数を制御できるならば、より大きなモチーフに対しても証明技法を拡張でき、より豊かなモデルにおける結果の強化が可能であると示唆している。