[論文レビュー] The spectral gap of dense random regular graphs

Konstantin Tikhomirov, Pierre Youssef|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、密度の高いランダム $ d $-正則グラフのスペクトルギャップに対するタイトな上界を確立し、$ n^\alpha \leq d \leq n/2 $ の範囲で、$ \mathbf{G} $ の絶対値の2番目に大きな固有値が高確率で $ C_\alpha \sqrt{d} $ 以下であることを示している。これはヴゥの予想を裏付けるものである。証明は、所定の次数列を持つ有向ランダムグラフの隣接行列上での線形形式のための新規な集中不等式に依拠しており、フレドマンのマルティンゲール不等式とテンソル化技術を用いている。

ABSTRACT

For any $α\in (0,1)$ and any $n^α\leq d\leq n/2$, we show that $λ(G)\leq C_α\sqrt{d}$ with probability at least $1-\frac{1}{n}$, where $G$ is the uniform random $d$-regular graph on $n$ vertices, $λ(G)$ denotes its second largest eigenvalue (in absolute value) and $C_α$ is a constant depending only on $α$. Combined with earlier results in this direction covering the case of sparse random graphs, this completely settles the problem of estimating the magnitude of $λ(G)$, up to a multiplicative constant, for all values of $n$ and $d$, confirming a conjecture of Vu. The result is obtained as a consequence of an estimate for the second largest singular value of adjacency matrices of random {\it directed} graphs with predefined degree sequences. As the main technical tool, we prove a concentration inequality for arbitrary linear forms on the space of matrices, where the probability measure is induced by the adjacency matrix of a random directed graph with prescribed degree sequences. The proof is a non-trivial application of the Freedman inequality for martingales, combined with boots-trapping and tensorization arguments. Our method bears considerable differences compared to the approach used by Broder, Frieze, Suen and Upfal (1999) who established the upper bound for $λ(G)$ for $d=o(\sqrt{n})$, and to the argument of Cook, Goldstein and Johnson (2015) who derived a concentration inequality for linear forms and estimated $λ(G)$ in the range $d= O(n^{2/3})$ using size-biased couplings.

研究の動機と目的

• 任意の $ \alpha \in (0,1) $ に対して、$ d \in [n^\alpha, n/2] $ の範囲で、一様ランダム $ d $-正則グラフのスペクトルギャップ $ \lambda(\mathbf{G}) $ を推定する未解決問題を解消すること。
• 乗法的定数のオーダーまでタイトな、高確率での絶対値の2番目に大きな固有値 $ \lambda(\mathbf{G}) $ の上界を提供すること。
• スパースな領域から密度の高い領域へ既存の結果を拡張し、$ d \leq n/2 $ の全範囲にわたる $ \lambda(\mathbf{G}) $ の特徴付けを完成させること。
• 固定されたインデグリーやアウトデグリーを持つランダム有向グラフの隣接行列上での線形形式の一般集中不等式を構築すること。
• ランダム正則グラフを超える応用が可能な柔軟なフレームワークを確立すること。応用分野にはランダム行列理論やグラフ拡張性が含まれる。

提案手法

• 無向ランダム正則グラフ問題を、所定の次数列を持つランダム有向グラフの隣接行列の2番目に大きな特異値に還元する。
• 行和と列和が固定された $ 0 $-$ 1 $ 行列空間上での任意の線形形式のための新規集中不等式を導入し、マルティンゲールのフレドマンの不等式を用いる。
• 高次元設定における集中境界を強化するために、ブートストラップとテンソル化技術を用いる。
• 隣接行列の右上隅を介した還元により、無向ケースと有向ケースを結びつける。
• 度数列を条件とする場合に、完全なグラフのスペクトルノルムと部分行列のスペクトルノルムを関連付ける [26] の結果を適用する。
• サブガウス型の尾部挙動を示す典型的な次数列を捉えるために、集合 $ \mathbf{Deg}_\ell(d,\delta) $ を定義する。これにより、高確率で集中が成立することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度の高いランダム $ d $-正則グラフにおいて、$ d \in [n^\alpha, n/2] $ のとき、絶対値の2番目に大きな固有値 $ \lambda(\mathbf{G}) $ の鋭い漸近的挙動は何か？
• RQ2 一様ランダム $ d $-正則グラフのスペクトルギャップが、全密度領域にわたり高確率で $ O(\sqrt{d}) $ で抑えられるか？
• RQ3 固定された次数列を持つ構造的ランダム行列に対して、隣接行列上での線形形式の集中不等式をどのように拡張できるか？
• RQ4 部分行列とその次数列の解析を通じて、ランダム正則グラフのスペクトルノルムをどの程度制御できるか？
• RQ5 $ d \leq n/2 $ の範囲で、ヴゥの漸近的スペクトルギャップ $ (2+o(1))\sqrt{d - d^2/n} $ の予想が、一様モデルにおいて成り立つか？

主な発見

• 任意の $ \alpha \in (0,1) $ および $ n^\alpha \leq d \leq n/2 $ に対して、$ \lambda(\mathbf{G}) \leq C_\alpha \sqrt{d} $ が確率 $ 1 - n^{-m} $ 以上で成り立つ。ここで $ m \in \mathbb{N} $ は任意の固定整数である。
• $ \lambda(\mathbf{G}) = O(\sqrt{d}) $ の境界が、$ d \leq n/2 $ 全体にわたり高確率で成り立つ。これにより、全次数にわたるスペクトルギャップの特徴付けが完成する。
• 結果はヴゥの予想、すなわち一様モデルにおいて $ \lambda(\mathbf{G}) = (2+o(1))\sqrt{d - d^2/n} $ が定数倍の誤差の範囲で成り立つことを裏付けている。
• 固定された次数列を持つ有向グラフの隣接行列上での線形形式のための新規集中不等式が確立され、指数的尾部境界が得られた。
• 証明手法により、$ \frac{1}{\sqrt{d}}(\mathbf{M} - \mathbb{E}\mathbf{M}) $ のスペクトル測度が高確率で定数長の区間上に支持されることが示された。
• 証明手法は強固で汎用的であり、マルティンゲール不等式とテンソル化に依拠しており、サイズバイアスカップリングや対称的グラフ分解を用いた従来の手法とは明確に異なる。