[論文レビュー] Large time asymptotics for the parabolic Anderson model driven by spatially correlated noise

Jingyu Huang, Khoa Lê+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1次元以上で空間的に相関するノイズによって駆動される放物型アンダーソン・モデルの解のモーメントについて、フェインマン＝カックの公式を確立する。変分量を用いてリャプノフ指数と指数的成長インデックスを導出し、間欠的性質における相転移行動を証明する。結果は、ホルスト指数 $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $ の粗いノイズおよび可積分性と劣加法性条件を満たす一般のスペクトル測度へと拡張される。

ABSTRACT

In this paper we study the linear stochastic heat equation, also known as parabolic Anderson model, in multidimension driven by a Gaussian noise which is white in time and it has a correlated spatial covariance. Examples of such covariance include the Riesz kernel in any dimension and the covariance of the fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in (\frac 14, \frac 12]$ in dimension one. First we establish the existence of a unique mild solution and we derive a Feynman-Kac formula for its moments using a family of independent Brownian bridges and assuming a general integrability condition on the initial data. In the second part of the paper we compute Lyapunov exponents, lower and upper exponential growth indices in terms of a variational quantity. The last part of the paper is devoted to study the phase transition property of the Anderson model.

研究の動機と目的

• 空間的に相関するノイズを伴う確率的熱方程式に対する弱解の存在および一意性を確立すること。
• 独立なブラウンブリッジの族を用いて、解のモーメントに対するフェインマン＝カックの公式を導出すること。
• 変分量を用いてリャプノフ指数および指数的成長インデックスを定式化すること。
• 間欠的性質の文脈において、リャプノフ指数の相転移行動を分析すること。

提案手法

• 仮説 (H.1) および (H.2) の下で、ウィenerホーチャンス展開を用いて弱解の存在および一意性を証明する。
• 一般の可積分性および劣加法性条件を満たすスペクトル測度の下で、独立なブラウンブリッジを用いてモーメントに対するフェインマン＝カックの公式を導出する。
• エネルギー項とドリフト項を含む最小化問題として、リャプノフ指数および指数的成長インデックスを変分法により特徴付ける。
• ラプラースの原理および漸近的解析を用いて、対数モーメント母関数の下界および上界を確立する。
• 異なるパrameter領域における変分量の振る舞いを分析することで、相転移の挙動を検討する。
• スペクトル測度の条件を用いて、結果を粗いノイズ、特に $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $ の分数次ブラウン運動へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に相関するノイズによって駆動される多次元における放物型アンダーソン・モデルのリャプノフ指数および指数的成長インデックスは、どのように振る舞うか？
• RQ2 ノイズが空間的に白色でない粗いノイズである場合、解のモーメントに対するフェインマン＝カックの公式を確立できるか？
• RQ3 スペクトル測度の劣加法性および可積分性は、解の存在およびモーメント構造にどのように寄与するか？
• RQ4 モデルは、間欠的性質において相転移を示すか。その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 解の長時間漸近的挙動は、ノイズの空間的相関構造にどのように依存するか？

主な発見

• 仮説 (H.1) もしくは (H.2) の下で、空間時間白色ノイズおよび分数次ブラウン運動のケースを一般化する条件下で、一意な弱解が存在する。
• スペクトル密度に一般の可積分性および劣加法性条件を課した下で、独立なブラウンブリッジの族を用いて、モーメントに対するフェインマン＝カックの公式が導出される。
• リャプノフ指数および指数的成長インデックスは、空間的経路における2次および1次項の和を含む変分問題の解として特徴付けられる。
• 変分量の分析を通じて、間欠的性質における相転移が確認され、解のピークの支配的空間的構造の変化が示される。
• 特定の条件の下で、$ \ell = 1 $ の場合、$ n $ 次モーメントの指数的成長率は、大時間極限において $ \frac{n\beta^2}{2} - n\alpha\beta $ に収束する。
• 対数モーメント母関数の上界および下界が、同じ変分表現に収束することから、指数的成長インデックスの正確な漸近的挙動が確認される。