[論文レビュー] Large time behavior of unbounded solutions of first-order Hamilton-Jacobi equations in the whole space

Guy Barles, Olivier Ley+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全空間における一階ハミルトニアン・ヤコビ方程式（Eikonal型）の有界でない粘性解の長時間挙動を、一般の凸性および強制性条件下で考察する。初期データが下から有界である場合、解は一意なエルゴード定数を持つエルゴード解に収束することを示すが、このような有界性がない場合には、非有界設定におけるエルゴード定数の非一意性のため、収束が失敗する可能性がある。

ABSTRACT

We study the large time behavior of solutions of first-order convex Hamilton-Jacobi Equations of Eikonal type set in the whole space. We assume that the solutions may have arbitrary growth. A complete study of the structure of solutions of the ergodic problem is provided : contrarily to the periodic setting, the ergodic constant is not anymore unique, leading to different large time behavior for the solutions. We establish the ergodic behavior of the solutions of the Cauchy problem (i) when starting with a bounded from below initial condition and (ii) for some particular unbounded from below initial condition, two cases for which we have different ergodic constants which play a role. When the solution is not bounded from below, an example showing that the convergence may fail in general is provided.

研究の動機と目的

• 全空間における一階ハミルトニアン・ヤコビ方程式の有界でない粘性解の長時間漸近的挙動を理解すること。
• 解が任意の成長を示す可能性がある場合の、エルゴード問題の解の構造を同定すること。
• 初期データの下からの有界性が解のエルゴード状態への収束に与える役割に焦点を当て、収束が成立する条件を特定すること。
• 初期データが下から無限大に発散する場合でさえ、Eikonal方程式の解に対しても収束が失敗しうることを示すこと。
• 弱KAM理論や事前仮定に基づくサブソリューションの性質に依存しない、PDEに基づくエルゴード挙動の分析を提供すること。

提案手法

• 粘性解理論および非有界解に対する比較原理に依拠し、Barles [19, 23] が提示した一般化された比較結果（成長制限なしに成立）を用いる。
• 著者らは、粘性解とBarron-Jensen解の等価性（定理B.1）を用いて、inf-およびsup-畳み込みにおけるサブソリューションおよびスーパーソリューションの性質を保持する。
• 彼らは、\mathbb{R}^N におけるエルゴード問題 $ H(x, Dv) = l(x) + c $ を分析し、強制性および凸性仮定の下で、すべての $ c \geq 0 $ に対して解の存在を証明する。
• 長時間挙動は、初期データのinf-畳み込みおよび制御的解釈における値関数を用いて分析される。
• 本稿では、初期データが下から有界でない場合に収束が失敗することを示す明示的例を構成する。これは、エルゴード方程式の解の有界摂動でさえも、収束を妨げる可能性があることを示している。
• 重要な技術的道具として、$ \liminf_{|x|\to\infty} l(x) > 0 $ というコンパクト性仮定を用い、集合 $ \mathcal{A} = \{x : l(x) = 0\} $ が非空かつコンパクトであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが下から無限大に発散する場合、一階ハミルトニアン・ヤコビ方程式のコーシー問題の解が、時間 $ t \to \infty $ のときエルゴード解に収束する条件は何か？
• RQ2 全空間設定におけるエルゴード定数の非一意性が、周期的ケースと比較して解の長時間挙動に与える影響は何か？
• RQ3 初期データの下からの有界性が、エルゴード問題の解への収束を保証する上で果たす役割は何か？
• RQ4 初期データが下から無限大に発散する場合でさえ、エルゴード方程式の解の有界摂動であれば、解のエルゴード状態への収束が失敗しうるか？
• RQ5 全空間におけるエルゴード問題の構造は、周期的ケースとどのように異なるか。特に、解の存在性および一意性の観点から。

主な発見

• 初期データが下から有界である場合、$ u(x,t) + ct \to v(x) $ が $ C(\mathbb{R}^N) $ で $ t \to \infty $ のとき成り立ち、ここで $ (c,v) $ はエルゴード問題 $ H(x,Dv) = l(x) + c $ の解であり、$ c \geq 0 $ である。
• 全空間設定ではエルゴード定数 $ c $ は一意でない。$ c \geq 0 $ の複数の値が、エルゴード方程式の解を支えることができる。
• $ \mathcal{A} = \{x : l(x) = 0\} $ が非空かつコンパクトであるとき、エルゴード問題に解 $ (c=0, v \geq 0) $ が存在し、$ H $ の成長条件の下で $ v(x) \to \infty $ が $ |x| \to \infty $ のとき成り立つ。
• $ c > 0 $ のとき、エルゴード問題の任意の解 $ v $ は下から無限大に発散する。二つの解の差の漸近的減衰条件の下で一意性が成立する。
• 初期データ $ u_0(x) = S(x) + b(x) $ で $ b $ が有界かつリプシッツ連続であるが、$ u_0 $ が下から無限大に発散する例を構成し、$ t \to \infty $ のとき $ u(x,t) + ct $ が収束しないことを示した。これにより、有界性仮定の必要性が示された。
• 本稿では、$ u_0 $ が $ c > -\min l $ のエルゴード方程式の解の有界摂動であり、$ x \to -\infty $ のとき $ v(x) - u_0(x) \not\to 0 $ である場合、収束が失敗することを示した。これは、エルゴード解の下からの有界性が極めて重要であることを示している。