[論文レビュー] Larson-Sweedler Theorem, Grouplike Elements and Invertible Modules in Weak Hopf Algebras

Péter Vecsernyés|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限次元の弱双代数が非退化な左積分をもつことと、弱ホップ代数であることの同値性を示すことによって、Larson–Sweedlerの定理を弱ホップ代数へ拡張する。弱ホップ代数上の加群の圏が自己双対的モノイダルであることを確立し、単位対象および可逆加群の半単純性を証明し、これらを双対弱ホップ代数における群的元と関連付ける。

ABSTRACT

We extend the Larson–Sweedler theorem for weak Hopf algebras by proving that a finite dimensional weak bialgebra is a weak Hopf algebra iff it possesses a non-degenerate left integral. We establish the autonomous monoidal category of the modules of a weak Hopf algebra A and show the semisimplicity of the unit and the invertible modules of A. We also reveal the connection of these modules to left/right grouplike elements in the dual weak Hopf algebra Â.

研究の動機と目的

• 古典的なLarson–Sweedlerの定理を弱ホップ代数の設定に一般化すること。
• 特にそのモノイダルおよび自己双対的性質について、弱ホップ代数上の加群の圏の構造を調査すること。
• 弱ホップ代数の加群圏における単位対象および可逆加群の半単純性を分析すること。
• 可逆加群と双対弱ホップ代数における群的元との関係を探索すること。

提案手法

• 有限次元の弱双代数における弱ホップ代数構造の特徴づけとして、非退化な左積分の使用。
• 弱ホップ代数上の加群の圏が自己双対的モノイダルであることを示すために圏論的手法の適用。
• 弱ホップ代数の構造的解析を通じて、単位対象および可逆加群の半単純性の証明。
• 双対弱ホップ代数 Â における群的元の同定と、加群圏の双対性を通じた可逆加群への対応。
• A と Â の双対性を用いて、加群論的性質と双対代数における代数的構造を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の弱双代数が弱ホップ代数となる条件は何か？
• RQ2 非退化な左積分の存在がどのように弱ホップ代数構造を特徴づけるか？
• RQ3 弱ホップ代数上の加群の圏のモノイダル構造は何か？そしてそれは自己双対的か？
• RQ4 弱ホップ代数上のどの加群が可逆加群か？そしてそれらは双対代数における群的元とどのように関係するか？
• RQ5 双対弱ホップ代数 Â における群的元は、可逆加群の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 有限次元の弱双代数は、非退化な左積分をもつことと、弱ホップ代数であることの同値である。
• 弱ホップ代数上の加群の圏は自己双対的モノイダル圏であり、すべての対象が双対を持つ。
• 弱ホップ代数の加群圏における単位対象は半単純である。
• A-加群圏における可逆加群は半単純であり、双対弱ホップ代数 Â における群的元に対応する。
• 可逆加群と Â における群的元の間には一対一対応が存在し、これにより圏論的構造と代数的構造が結びつけられる。